Matematické Fórum

Ibanus · 23. 10. 2014 23:31 — Editoval Ibanus (23. 10. 2014 23:33)

Dobrý den,

mám problém s vyřešením následující úlohy:

$\sum_{}^{}\frac{\sin x\cdot \sin nx}{\sqrt{n+x}}$

Začali jsme ve škole úlohu řešit následovně s tím, ať si to doma promyslíme:

$\sin x\sum_{}^{}\frac{\sin nx}{\sqrt{n+x}}=\sin x\sum_{}^{}\frac{\sin nx}{\sqrt{n+x}}>\frac{\sin nx}{\sqrt{n}}$

Nemáte představu jak úlohu řešit. Případně mohl bych poprosit o nějaký způsob řešení?

Děkuji :-)

Ibanus · 25. 10. 2014 17:57

Je schopný mi někdo poradit? Klidně i za správné řešení zaplatím jako za doučování.

Brano · 25. 10. 2014 18:16 — Editoval Brano (25. 10. 2014 18:22)

uloha nie je nejak extra dobre zadana.

mas tam vlastne napisany iba symbol $\sum ...$ ale chyba k nemu otazka co treba urobit.
Teda co treba, obor konvergencie na R obor rovnomernej konvergencie? alebo nieco ine?
+ v tomto pripade by bolo aj dobre doplnit, ze cez ake indexy $n$ to sumujes kvoli definicnemu oboru jednotlivych scitancov.

Ibanus · 25. 10. 2014 18:48

↑ Brano:

Ano, omlouvám se, index bude $\sum_{1}^{\infty }$ . Sám jsem to neměl v sešitě. No a mám vyřešit interval konvergence na celém $\mathbb{R}$ .

Brano · 25. 10. 2014 19:03 — Editoval Brano (25. 10. 2014 19:05)

takze v prvom rade aby jednotlive vyrazy mali zmysel, tak potrebujes $x>-1$ a teraz by sme mohli skusit dokazat, ze to tam konverguje

Weiersrass tu moc nepomoze, ale mozme skusit Dirichleta

Najprv si vsimneme, ze $a_n=\frac{1}{\sqrt{n+x}}$ je monotonne klesajuca postupnost s limitou $0$ takze sa treba pohrat s $b_n=\sin x\sin nx$ . Potrebujeme $c_N=\sum_{n=1}^N b_n$ s cim nam pomoze W|A

a teda mame $|c_n|=\left|2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{nx}{2}\sin\frac{(n+1)x}{2}\right|\le 2$

cize predpoklady Dirichleta nam to splna a teda to konverguje.

PS: kebyze beries $\sum_{n=m}^\infty$ , tak by to malo zmysel a aj konvergovalo na $x>-m$

Ibanus · 26. 10. 2014 10:38 — Editoval Ibanus (26. 10. 2014 11:20)

↑ Brano:

Velmi děkuji. Mám otázku ohledně oblasti, kde konverguje. Konverguje tedy řada na celém $\mathbb{R}$ ?

Mimochodem sumu $c_N=\sum_{n=1}^N b_n$ bych mohl řešit jak bez použití WA?

Jinak dávám Vám karmu + za přínosnou radu. Dám taky příspěvek na chod fóra. :-)

Brano · 26. 10. 2014 14:48

Ak mas teda sumu zacinajucu od $n=1$ tak sa pozri na prvy scitanec
$\frac{\sin x\cdot \sin x}{\sqrt{1+x}}$
na to aby mal zmysel, tak musis uvazovat $x>-1$ cize iba tu sa da vysetrovat konvergencia a tu aj konverguje; pre $x\le -1$ ta suma nema zmysel a tak nemoze konvergovat

Co sa tyka toho scitania tak na to je taky trik:

$\sum_{k=1}^n\sin(kx)=\sum_{k=0}^n\sin(kx)=\sum_{k=0}^nIm(e^{ikx})=$
$=Im(\sum_{k=0}^ne^{ikx})=Im\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}=...$
dalej su to upravy ktore skus sam a keby to neslo, tak si to prejdeme

Ibanus · 26. 10. 2014 15:47

Zkouším to s využitím Eulerova vzorce, ale vůbec se nechytám. Hledám podobnou literaturu o kterou bych se mohl v tomto opřít a nevím.

Brano · 27. 10. 2014 16:28 — Editoval Brano (27. 10. 2014 16:29)

↑ Ibanus:
no to je skor cvicenie na upravy goniometrickych fcii
oznacme si $c_k=\cos\frac{kx}{2},\ s_k=\sin\frac{kx}{2}$ (prepis si to pripadne normalne ak sa ti to bude tazko sledovat v tomto oznaceni)

$V=\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}=\frac{1-c_{2n+2}-is_{2n+2}}{1-c_2-is_2}\cdot\frac{1-c_2+is_2}{1-c_2+is_2}$
$Im V=\frac{1}{(1-c_2)^2+s_2^2}[s_2(1-c_{2n+2})-s_{2n+2}(1-c_2)]=\frac{1}{2-2c_2}[...]=$
$=\frac{1}{4s_1^2}[2s_1c_12s_{n+1}^2-2s_{n+1}c_{n+1}2s_1^2]=\frac{s_{n+1}(c_1s_{n+1}-c_{n+1}s_1)}{s_1}=\frac{s_{n+1}s_{n}}{s_1}$
a to uz je ono.