Matematické Fórum

Flaky · 26. 10. 2014 16:53

Dobrý den, potřeboval bych poradit s řešením následujícího příkladu.

Kolik existuje pořadí písmen A,B,D,E,I,K,M,N,R,Ů,Z takových, že po vynechání některých písmen nevznikne ani jedno ze slov ARZEN, DRAK, DŮM, DŮRAZ.

Děkuji za odpověd.

zdenek1 · 27. 10. 2014 21:05

↑ Flaky:
Pořadí, ve kterých bude ARZEN je $\frac{11!}{5!}$ - Dojdeš k tomu např. tak, že si písmena ARZEN nahradíš prázdnou mezerou a permutuješ znaky _BD_IKM_,_Ů_ což je klasická permutace s opakováním. Jakmile máš jednu konkrétní permutaci, slovo ARZEN na prázdné mezery doplníš jednoznačně.
Stejnou úvahou máš
DRAK $\frac{11!}{4!}$
DŮM $\frac{11!}{3!}$
DŮRAZ $\frac{11!}{5!}$

Nyní spočítáš dvojice
ARZEN DRAK - $0$
ARZEN DŮRAZ - $0$
ARZEN DŮM - $\frac{11!}{3!5!}$ - stejná úvaha, jen budeš mít dva druhy mezer, jeden pro písmena slova ARZEN a druhý pro písmena slova DŮM (_B-_IK-_,_-_)
DRAK DŮM $\frac{11!}{6!}{5\choose2}$ (mezer bude 6, pozice D je jednoznačně daná, ze zbytku vybereš pozice pro ŮM)
DRAK DŮRAZ $\frac{11!}{6!}\cdot 2$ (6 mezer, DŮ je jednoznačné dáno, vybereš znak na poslední pozici Z nebo K, zbytek je jednoznačně určen)
DŮM DŮRAZ $\frac{11!}{6!}\cdot 4$ (DŮ dáno, vybíráš pozici pro M)

trojice je jediná
DRAK, DŮM, DŮRAZ $\frac{11!}{7!}\cdot 5\cdot 2$ (5 možností pro M, na poslední volnou pozici dvě možnosti Z nebo K)

PIE
všechno -("jednotice"-dvojice+trojice)

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2014 16:53

Princip Inkluze a exkluze

#2 27. 10. 2014 21:05

Re: Princip Inkluze a exkluze

Zápatí