Matematické Fórum

gekoncik

Ahoj, potreboval bych pomoct s timto prikladem dekuji:

Určete intenzitu elektrického pole ve vakuu v místě středu kovového vodiče ve tvaru půlkruhu o poloměru R=10 cm, který je nabit nábojem Q = $10^{-9}$ C.

Ivana · 27. 02. 2009 23:06

↑ gekoncik:

Chceme-li vypočítat el. intenzitu ve vzdálenosti R .. je obdoba intenzita el.pole nabité kulové slupky.Intenzita má stejný průběh jako intenzita pole bodového náboje :

$E=k\frac{Q}{R^2}$ .. kde $k=9*10^9kgm^2s^{-2}C^{-1}$

perdy · 28. 02. 2009 01:40 — Editoval perdy (28. 02. 2009 01:43)

↑ Ivana:
Prečo by mala mať intenzita rovnaký priebeh ako intenzita bodového náboja?

Podľa mňa sa v tomto príklade nevyhneš integrácii, každý element polkruhu $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2| x^2 + y^2 \leq R^2, y>0\}$ prispieva svojím dielom k sile, ktorá pôsobí na testovací náboj v strede. Vzhľadom k symetrii sa navzájom vyrušia zložky sily rovnobežné s osou x, ale každý element bude "ťahať" testovací náboj v smere y, viac alebo menej.
Tvoj jednoduchý výsledok by potom znamenal, že všetok náboj je sústredený v jednom bode vodiča, konkrétne $[0,R]$ . Na druhú stranu, možno po integrácii naozaj vyjde to, čo si napísala.

Dúfam, že nekecám, už je pokročilá hodina. Zajtra to možno skúsim dorátať.

Ivana · 28. 02. 2009 08:26

↑ perdy:Taky mne to napadlo, že to bude přes integrál, ale počkám si na tvoje řešení. :-)

Pavel Brožek

↑ gekoncik:

Úloha by byla jednoduchá, pokud bychom znali rozložení náboje na vodiči. Pak bychom mohli jednoduše integrovat jak píše perdy.

Rozložení náboje bude takové, že x-ová a y-ová složka elektrické intenzity bude v půlkruhu nulová - jinak by se nosiči náboje začli pohybovat a neměli bychom statické řešení, které hledáme. Ze stejného důvodu bude směr intenzity elektrického pole na hranici půlkruhu kolmý na hranici. Nenapadá mě ale jak z toho zjistit rozložení náboje.

Pokud středem nemyslíš střed kruhu, ale např. těžiště, které by leželo uvnitř vodiče, pak je tam el. intenzita nulová z důvodu, který jsem napsal výše. z-ová složka bude nulová z důvodu symetrie.

perdy · 01. 03. 2009 17:41

↑ BrozekP:

Veľmi správne, intenzita vo vodiči je nulová.
To mi vnuklo alternatívny spôsob výpočtu: riešiť Laplaceovu rovnicu pre potenciál $\Delta\varphi=0$ na polkruhu K s okrajovou podmienkou $\varphi|_{\partial K}=\mathrm{const.}$ . Intenzita sa už potom získa len z gradientu tohoto potenciálu.

Štandardne by sa to malo dať vyriešiť prevedením pomocou konformného zobrazenia na hornú polrovinu, konvolovať Greenovu funkciu s okrajovou podmienkou a vrátiť sa späť ku polkruhu. Otázkou je voľba konštanty z okrajovej podmienky - ako bude súvisieť so zadaným nábojom.

Skúsim nad tým ešte trochu popremýšľať.

Matematické Fórum

#1 27. 02. 2009 11:07 — Editoval gekoncik (27. 02. 2009 11:23)

Intenzita elektickeho pole ve vakuu

#2 27. 02. 2009 23:06

Re: Intenzita elektickeho pole ve vakuu

#3 28. 02. 2009 01:40 — Editoval perdy (28. 02. 2009 01:43)

Re: Intenzita elektickeho pole ve vakuu

#4 28. 02. 2009 08:26

Re: Intenzita elektickeho pole ve vakuu

#5 28. 02. 2009 11:00 — Editoval BrozekP (28. 02. 2009 11:03)

Re: Intenzita elektickeho pole ve vakuu

#6 01. 03. 2009 17:41

Re: Intenzita elektickeho pole ve vakuu

Zápatí