Matematické Fórum

Adrii · 28. 10. 2014 11:34

Ahoj, mám tu problém s vyšetřením průběhu funkce, něco vypočítaného mám, ale jelikož se s některými výpočty počítá i dál, tak mám strach, aby i to málo nebylo špatně. No, ale tak vám to tu vypíšu a třeba mi někdo pomůže. :)
Funkce: $f(x)=\frac{x^{3} }{3(2-x)^{2}}$

Definiční obor: $Df: (-\infty ;-2)\cup (-2;2) \cup (2;\infty )$

Vyšlo mi, že podle $f(-x) = f(x)$ a $f(-x) = -f(x)$ není funkce sudá, ani lichá. Taky jsem z grafu poznala, že není periodická, ale nenapadá mě, jak to dokázat výpočtem.

Dále jsem vypočítala průsečíky s osami:
pro x=0
$y=\frac{0^{3}}{3(2-0)^{2}} = 0$
pro y=0
$\frac{x^{3}}{3(2-x)^{2}}=0$
$\frac{x^{3}}{12-12x+3x^{2}}=0$
$x^{3}=0$
$x=0$
takže má funkce průsečík s osami v bodě [0;0]?
pokoušela jsem se i o derivaci $y=36x^{2}-35^{3}+7x^{4}$
pak mě napadlo vytknout $x^{2}(36-35x+7x^{2})$ - tím bych se pak dostala ke kvadratické rovnici, pomocí které bych mohla vypočítat kořeny ale vychází mi nějak takto $x_{1,2}=\frac{35\pm \sqrt{217}}{14}$ - což nevím jestli mi nějak pomůže
za předpokladu, že ta první derivace je správná by byla druhá derivace $y=28x^{2}-2x$ - z toho kořeny pro inflexní body mi vyšly $x_{1}=\frac{1}{14}$ a $x_{2}=\frac{0}{56}$
nakonec jsem se pokusila ještě o asymptoty
$y=kx+q$
$k=\lim_{x\to\pm \infty }\frac{x^{3}}{3x(2-x)^{2}}$ ale nevím, co s tím dál

Takže nakonec bych to shrnula vlastně bych vás chtěla požádat, o vysvětlení, jak v tomto případě poznám, kdy je funkce spojitá a jak to zapíši,jak zjistit výpočtem periodicitu funkce, jak v krajních bodech definičních intervalů, ve kterých je funkce spojitá stanovím limity funkce a dále $\lim f(x)_{x\to\pm \infty }$ , jak z těch vypočtených derivací zjistím, kde je funkce rostoucí, klesající a kde jsou lokální extrémy, jak poznám, kde je konvexní a kde konkávní, jak vypočítám inflexní body (mám v nich také určit rovnici "tečny"), potom také, jak dopočítat ty asymptoty a to by možná pro začátek stačilo :D

misaH · 28. 10. 2014 13:51

↑ Adrii:

Prečo by číslo $-2$ nepatrilo do D (f)?

Ostatné som nepozerala.

Mirek2 · 28. 10. 2014 14:37 — Editoval Mirek2 (28. 10. 2014 16:46)

↑ Adrii:
To muselo dát práce ...

definiční obor je celá množina R kromě x= +2
průsečík [0, 0] je dobře
limitu vypočteme jen v bodě x=+2,
a pak také pro x jdoucí do plus nekonečna a do minus nekonečna (OPRAVENO)

derivace není dobře - použij pravidlo pro derivaci podílu
rostoucí (klesající) - je tam, kde je derivace kladná (záporná), tedy řešením nerovnice (OPRAVENO)

spojitost - lomené algebraické funkce jsou spojité všude kromě bodů, kde nejsou definované (+2)

lokální extrémy a dále - to by asi chtělo nějakou literaturu, např.
http://www.matweb.cz/prubeh-funkce
http://maths.cz/clanky/prubeh-funkce-hl … tremu.html
http://math.feld.cvut.cz/mt/txtc/3/txc3cc3.htm

Mirek2 · 28. 10. 2014 14:50

↑ Adrii:
To je nějaký matematický gympl? :)

Patrně máte obecný postup jak určit průběh funkce. Ten ale není nutno vždy dodržet, zpravidla se zjišťuje jen to, co je potřeba, tady je např. zbytečné určovat periodicitu - to je spíš pro goniometrické funkce.

Můžu doporučit knihu
http://www.prometheus-nakl.cz/index.php … atalog=139
je skvělá, dá se koupit všude, kde prodávají učebnice, popř. v antikvariátu aj.

Chtělo by to nějaký program pro grafy funkcí - například
http://www.slunecnice.cz/sw/graf-kresleni-grafu-funkci/
tento konkrétně ale nemám vyzkoušený

jelena · 28. 10. 2014 16:28

Zdravím,

děkuji za kontroly (to je hodně náročné). Jen drobnosti:

kolega Mirek2 napsal(a):
limitu vypočteme jen v bodě x=+2...
rostoucí (klesající) - je tam, kde je limita kladná (záporná), tedy řešením nerovnice

tak ověříme, zda v bodě nespojitosti máme asymptotu bez směrnice (nebo ne). Limity můžeme počítat i (dle zadání) "v krajních bodech def. oboru" - tedy i v +/- nekonečnu (pokud je funkce zde definována) - souhlasíte? "Limita" kladná - asi jen překlep, myslí se zřejmě "1. derivace".

Adrii napsal(a):
nakonec jsem se pokusila ještě o asymptoty
$y=kx+q$
$k=\lim_{x\to\pm \infty }\frac{x^{3}}{3x(2-x)^{2}}$ ale nevím, co s tím dál

ještě dokončit - nalézt limitu (a tedy nalézt $k$ ), v čitateli a jmenovateli jde vytknout $x^3$ , potom pokračovat k nalezení q (podle definice).

↑ Mirek2: ohledně grafu - pod oknem zprávy je tlačítko GRAPH, potom online doporučujeme (a přímo zde podporujeme MAW), ale neprosazujeme nijak aktivně na SŠ (a samozřejmě, jako každý nástroj, výsledky bereme s rezervou :-) Za použití učebnic ze série Matematiky pro gymnázia se také velmi přimlouvám, děkuji za doporučení.

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2014 11:34

Průběh funkce

#2 28. 10. 2014 13:48 Příspěvek uživatele misaH byl skryt uživatelem misaH.

#3 28. 10. 2014 13:51

Re: Průběh funkce

#4 28. 10. 2014 14:37 — Editoval Mirek2 (28. 10. 2014 16:46)

Re: Průběh funkce

#5 28. 10. 2014 14:50

Re: Průběh funkce

#6 28. 10. 2014 16:28

Re: Průběh funkce

kolega Mirek2 napsal(a):

Adrii napsal(a):

Zápatí