Matematické Fórum

ironhide · 29. 10. 2014 10:47

Zdravím,

Mám limitu:

$\lim_{n\to\infty }\frac{n}{2^{n}}=0$

A mám ji dokázat z definice limity, je možné zjendodušit zadanou limitu na tvar:

$\frac{1}{n}$

Popřípadě jak by se prosím postupovalo kdybych limitu ponechal v původním tvaru, šla by takto dokázat?
A ještě poslední otázka, pokud bych měl limitu jen dokázat a měl k dispozici všechny prostředky, šlo by jí dokázat například podílovým kriteriem a indukcí?

Předem moc děkuji za odpověď.

OndrasV · 29. 10. 2014 11:07

↑ ironhide: To je krásný příklad na podílové kritérium. Pokud dokážeš, že limita podílu $a_{n}$ a $a_{n-1}$ je v (0,1).

ironhide · 29. 10. 2014 11:10

↑ OndrasV:

A to je možné dokázat matematickou indukcí:)?

Rumburak

↑ ironhide:

Ahoj.

I. Existuje více způsobů, jak dokázat, že $\lim_{n\to\infty }\frac{n}{2^{n}}=0$ . Ale nevím, co máš na mysli
pod metodou "podílovým kriteriem a indukcí".

2. Co to znamená "zjednodušit zadanou limitu na tvar $\frac{1}{n}$ ?

Myslím, že pěkný důkaz vyjde, když výraz $2^n = (1+1)^n$ rozepíšeme pomocí binomické věty.

ironhide · 29. 10. 2014 11:31

↑ Rumburak:

Podle důkazu matematickou indukcí bych spočítal kvocient pro první člen n a následovně kvocient pro n+1, z čehož by plynulo, že rozdíl n a n-1 členu limity podle podílového kriteria je roven stejnému kvocientu a tedy, že limita konverguje k nule?

Zjednodušením limity myslím, nalezení vybrané limity v pro mne stravitelném tvaru.

Důkaz z definice limity pro tuto limitu mám tedy provést pomocí binomické věty? Byl bych moc vděčný za stručné popsání nejjednodušího způsobu jak tuto limitu dokázat z definice, nebo odkaz na nějakou stránku, kde bych to pochopil:).

Rumburak

↑ ironhide:

Podle důkazu matematickou indukcí bych spočítal kvocient pro první člen n a následovně kvocient pro n+1, z čehož by plynulo, že rozdíl n a n-1 členu limity podle podílového kriteria je roven stejnému kvocientu a tedy, že limita konverguje k nule?

Pokud Ti jde o výpočet podílu

(1) $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^{n}}}= \frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n}$ ,

tak k tomu nepotřebuješ indukci. Ale v dalších Tvých úvahách se poněkud topím - nejsou vyjádřeny pro moji potřebu dosti přesně.

Pokud jde o ty důkazy, že pro $a_n := \frac{n}{2^{n}}$ je

(2) $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ .

1. Jestliže znáš d'Alembertovo kriterium pro konvergenci řad, pak z (1) plyne, že ředa $\Sigma a_n$ je konvergentní a tudíž platí (2)
(nutná podmínka konvergence), jak již naznačil kolega ↑ OndrasV: (díky za bodík :-)).

2. Podrobnosti k mému prvnímu návrhu: Pro $n \ge 2$ máme

$a_n = \frac{n}{2^{n}} =\frac {n}{{n \choose 0} + {n \choose 1} + ... + {n \choose n}} \le \frac {n}{{n \choose 2}}$ ,

kterýžto odhad se dá s úspěchem použít.