Matematické Fórum

pavelbr · 25. 10. 2014 12:03 — Editoval jelena (25. 10. 2014 13:17)

Dobrý den, pomohl by mi někdo s těmito dvěma příklady?

$\lim_{n\to \infty}\frac{(2n)!}{(2n)^{n}+n^{3n}}$ Tato limita jde do nekonečna.

$\lim_{n\to \infty}\frac{(\log n)\cdot $\sqrt[n]{3+(-1)^{n}}$}{n}$ Tato limita jde též do nekonečna.

Za laskavost předem děkuji.

jelena · 25. 10. 2014 13:20

Zdravím,

upravila jsem zápisy - souhlasí to? Do tématu je lepší dávat jen jednu úlohu viz pravidla. Zkoušel jsi vytknutí dominantního členu (zejména u 1. úlohy) a použití "škály mocnin"?

pavelbr · 25. 10. 2014 13:59

Ano, zápisy souhlasí, děkuji. S tou 1 si ale stále nevím rady. Dominantní člen ve jmenovateli je $n^{3n}$ , jestli se nepletu. Ale jak budu postupovat?

Eratosthenes · 25. 10. 2014 17:16

ahoj ↑ pavelbr:,

začal bych takto

$\lim_{n\to \infty}\frac{(2n)!}{(2n)^{n}+n^{3n}}= \lim_{n\to \infty} \frac {\frac {(2n)!} {n^{3n}}} {\frac {(2n)^n} {n^{3n}}+1}$

pavelbr · 25. 10. 2014 20:54

Tomu rozumím, to je jasné. V dalším kroku si upravím složený zlomek, $n^{3n}$ se mi vykrátí a pak bych mohl vytknout $(2n)!$ a pokrátit a zbylo mi $\frac{1}{1+\frac{n^{3n}}{(2n)^{n}}}$ . Postupuju správně? Moc se mi to nezdá právě.

Brano · 25. 10. 2014 21:29 — Editoval Brano (25. 10. 2014 21:35)

$0\le\frac{(2n)!}{(2n)^{n}+n^{3n}}\le\frac{(2n)^{2n}}{n^{3n}}=\left(\frac{4}{n}\right)^n\to 0$

$0\le\frac{(\log n)\cdot $\sqrt[n]{3+(-1)^{n}}$}{n}\le\frac{2\log n}{n}\to 0$

pavelbr · 25. 10. 2014 21:44

Moc nevím, jak jste k tomuto řešení došel. Vidím, že se jedná o výpočet pomocí věty o dvou policajtech (sevření), ale nechápu, jak jste na toto řešení přišel.

Brano · 26. 10. 2014 10:07

↑ pavelbr:
podla rad co tu uz boli - najdes dominantny clen; v prvom priklade $n^{3n}$ a v druhom $n$ a s ostatnymi clenmi mozes robit v odhadoch s rezervou; hlavne je nahradzat ich clenmi s ktorymi sa lahsie pocita.

pavelbr · 26. 10. 2014 16:42

Můžu se zeptat, jak dále. Opravdu nevím

Brano · 27. 10. 2014 16:43

no mozes sa spytat, ale skus tak aby sme tu otazku aj pochopili. totizto ja mam pocit, ze som napisal uplne riesenie. ak tam niecomu nerozumies tak sa pytaj konkretne; alebo aspon tu otazku nejak rozvin.

pavelbr · 28. 10. 2014 15:54

Tedy, z celého zlomku hledám nejvyšší člen, ten stejný pak vytýkám jak z čitatele i jmenovatele?

Například v tom prvním příkladu nechápu, jak jste zjistil toho "druhého policajta." $\frac{(2n)^{2n}}{n^{3n}}$

Vím, že nejvyšší člen je $n^{3n}$ , ale když ho vytknu, tak nedostanu jako vy.

To stejné platí s druhým příkladem. Právě moc nechápu, jak se řeší příklad s větou o sevření, jaký je moc postup. Nevím, jak dobře zjistit ony dva "policajty"

jelena · 29. 10. 2014 10:00

Zdravím,

ohledně úpravy $\frac{(2n)^{2n}}{n^{3n}}=\frac{2^{2n}n^{2n}}{n^{3n}}=\frac{2^{2n}n^{2n-3n}}{1}=\frac{4^{n}}{n^n}$ . Ještě k tomu přebíjení dominantních členů - snažím se upravit tak, abych viděla dobře stejné základy - např. $\frac {(2n)!} {n^{3n}}$ není dost dobře vidět "pro různé základy", upravím: $\frac {(2n)!2^n} {2^nn^{n}n^{2n}}=\frac{(2n)!}{(2n)^n}\cdot \frac{2^n}{n^{2n}}$ - to už doupravuješ.

$$\sqrt[n]{3+(-1)^{n}}$$ výraz pod odmocninou může být pouze 4 nebo 2, pro horní omezení vezmu 4 a posuzují jak bude vypadat $4^{\frac{1}{n}}$ pro n k +oo. Jinak spíš u $\lim_{n\to \infty}\frac{(\log n)\cdot $\sqrt[n]{3+(-1)^{n}}$}{n}$ bych uvažovala "přebíjení" $\frac{\log n}{n}$ a odmocninu jako "omezenou" - dál dle kolegy Stýva.

Případně kolega Brano spravedlivo-autoritativně pokritizuje, děkuji.

Brano · 29. 10. 2014 11:40

↑ pavelbr:

no cize asi robi problem ten odhad faktorialu, ale na to tu uz davali odkaz. plati

$k!\le k^k$ (pre k>0) dokonca $\lim k!k^{-k}=0$
v menovateli sa pouzilo, ze $(2n)^n\ge 0$ teda $(2n)^n+n^{3n}\ge n^{3n}$

k tej odmocnine sa uz vyjadrila jelena - ked odmocnujes dvojku alebo stvorku, tak budes dostavat male cisla, tak ich mozes odhadnut zhora nejakou konstantou

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2014 12:03 — Editoval jelena (25. 10. 2014 13:17)

limita posloupnosti

#2 25. 10. 2014 13:20

Re: limita posloupnosti

#3 25. 10. 2014 13:59

Re: limita posloupnosti

#4 25. 10. 2014 17:16

Re: limita posloupnosti

#5 25. 10. 2014 20:54

Re: limita posloupnosti

#6 25. 10. 2014 21:29 — Editoval Brano (25. 10. 2014 21:35)

Re: limita posloupnosti

#7 25. 10. 2014 21:44

Re: limita posloupnosti

#8 26. 10. 2014 10:07

Re: limita posloupnosti

#9 26. 10. 2014 16:42

Re: limita posloupnosti

#10 27. 10. 2014 16:43

Re: limita posloupnosti

#11 28. 10. 2014 15:54

Re: limita posloupnosti

#12 29. 10. 2014 10:00

Re: limita posloupnosti

#13 29. 10. 2014 11:40

Re: limita posloupnosti

Zápatí