Matematické Fórum

↑ Argcotgh x:
Ahoj, jak tě už na jiném místě upozornil vanok, množina je "jen hromádka", je docela na místě hovořit o direktním součinu vektorových prostorů, případně lze hovořit i o direktním součtu podmnožin nějakého vektorového prostoru (protože z logiky věci plyne, že se musí jednat o lineární podprostor).

Aby to bylo naprosto korektní, měl bys dokázat:
1. Každá množina Dn, Ln a An doplněná o sčítání matic a o násobení matice skalárem tvoří vektorový prostor. Buď mechanicky ověříš axiomy vektotového prostoru, nebo využiješ to, že Mn je vektorový prostor a ověříš jen to, že Dn, Ln a An doplněné o operace jsou lineární podprostory.

2. Pak uděláš přesně to, nad čím jsi uvažoval, tedy dokážeš, že jediným společným prvkem je nulová matice. Oba nápady bys měl realizovat postupně. První krok by mohl být ověřením průniku. Nehledej v tom vědu, neboj se důkazy formulovat slovně, protože formální důkaz je složitější.
Tak např. Dn a Ln: Diagonální matice má mimo diagonálu jistě nuly, striktně dolní trojúhelníková má povinně nuly na diagnonále a v horním trojúhelníku. Tedy jedinou maticí, která je současně v Dn i Ln, je nulová matice. Jisně, pokud si chceš hrát, můžeš to zkusit formálně rozepsat, tedy napíšeš si formálně výrok "M je v Dn a současně M je v Ln" a jeho postupnou úpravou zjistíš, že je to ekvivalentní s výrokem "M je nulová matice".

Jen pozor na to, řekl bych, že obecně pro tři lineární podprostory U, V a W neplatí:


Takže se k tomu musíš nějak vyjádřit.


3. Pokud už budeš mít dokázáno, že součet těch tří podprostorů je direktní, můžeš zjistit dimenzi součtu jako součet dimenzí. K tomu ti musí vyjít, že součet dimenzí jednotlivých podprostorů je n^2.
(U výpočtu dimenze prostoru striktně dolních trojúhelníkových matic skutečně máš chybu - úvaha i výsledek by měly být stejné jako u asymetrických matic)

Ahoj, díky moc za cenný příspěvek, jen mi k tomu napadá několik věcí

1) Nulový průnik Dn a Ln je OK, nulový průnik Dn a An je OK, ale přijde mi, že Ln a An nemají obecně nulový průnik - je to vidět i z obecného zápisu, kde v zápisech obou vystupují členy a12, a31, a32 atd.

2) Nevím, zda lze jako důkaz uznat matice s konkrétními čísly

3) Opravdu lze zapsat tyto tři matice takto lineárně (každou zapsat jako celou v jednom řádku)?

4) součet dimenzí matic je OK.

Ahoj, doufám, že ti má odpověď ještě bude stačit do odevzdání úkolu. Samozřejmě, konkrétní matice jako důkaz neslouží, sloužila jen pro orientaci a zjednodušení, k důkazu slouží obecně napsané matice na papíře s hvězdičkou, nulový průnik mají protože si zkus vzít složky báze například Ln a dostat z nich An, je to naprosto nemožné. Ln má pouze členy pod diagonalou kdežto An na obou stranách diagonály. Pokud by jsi u An chtěl jednu stranu od diagonaly vynulovat, musel by jsi vynulovat i tu druhou, což by byl pouze speciální případ kdy jsou závislé a to při triviální lineární kombinaci -> že jsou lineárně nezávislé.