Matematické Fórum

TerezaG · 31. 10. 2014 15:03

Dobrý den,
nemám dotaz přímo k určitému příkladu, ale spíše obecně ohledně konvergence číselných řad.
Při zjišťování konvergence určité nekonečné číselné řady platí, že konvergující řada má limitu rovnu nule - což chápu, pokud se čísla přibližují k nule, řada konverguje.

Když mám ale vyšetřit konvergenci řady, tak na cvičení někdy používáme úvahu, že limita dané řady nejde k nule, tudíž řada diverguje (není splněna nutná podmínka konvergence).
Naopak v jiných případech pak použijeme hned nějaké kritérium, bez toho, aniž bychom zjišťovali, zda se limita blíží nule.

Jak mám tedy prosím postupovat při rozhodování o konvergenci?
Není mi jasné, kdy se mám dívat na to, zda řada splňuje nutnou podmínku konvergence a kdy mohu použít jedno z kritérií (integrální, podílové, D'Alambertovo..) nebo celkově jak postupovat?

Moc děkuji za rady :)

jelena · 31. 10. 2014 21:26

Zdravím,

Při zjišťování konvergence určité nekonečné číselné řady platí, že konvergující řada má limitu rovnu nule

zde asi mluvíš o nutné podmínce konvergence a o limitě $a_n$ (ne o limitě řady). U vás na Mathtutoru je to pěkně seřazeno do šuplíku, před dlouhými časy vzniklo téma - viz odkaz v odkazu (kolega Olin dával pěkné schéma vyšetření). To by mělo projasnit tento dotaz (beru, že mluvíš o nutné podmínce konvergence):

Když mám ale vyšetřit konvergenci řady, tak na cvičení někdy používáme úvahu, že limita dané řady nejde k nule, tudíž řada diverguje (není splněna nutná podmínka konvergence).
Naopak v jiných případech pak použijeme hned nějaké kritérium, bez toho, aniž bychom zjišťovali, zda se limita blíží nule.

Představím si to tak, že nepokračování při nesplnění nutné podmínky je asi jasně odůvodněno. V dalších případech - není již ze zápisu jasné, že nutná podmínka splněna (a jen jste to důrazně neřekli)? Zkus přidat některý konkrétně "nejasný" příklad (pokud nepomůže schéma od kolegy Olina). Děkuji.

TerezaG

↑ jelena:
Schéma určování konvergence jsem si už prošla, ale stále mi to není moc jasné, přidávám tedy některé typy řad :)

Jako první řadu, kde nerozumím tomu, že konverguje je: $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ po obyčejném vyšetření limity nám vyšlo, že limita je rovna nule, tudíž řada konverguje.
Pokud bych na to šla ale jinak a řekla si, že tato řada je přeci typem Dirichtelovy řady, kde určuji konvergenci pomocí $\frac{1}{k^{n}}$ a řada konverguje pro $n$ větší než jedna.. v tomto případě máme $k^{1}$ a je to harmonická řada, která DIVERGUJE ... tak jak si to mám vysvětlit? :)

Dále například : $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k\cdot 4^{k}}{5^{k}+1}$

Děkuji :)

kajzlik

Ahoj,

zjevně nerozumíš konceptu nutné podmínky konvergence.
To, že posloupnost $a_k$ jde k nule, je podmínka nutná, ale nikoliv postačující, tedy pokud již zmíněná posloupnost nejde k nule, lze rovnou říct, že vyšetřovaná řada diverguje, pokud posloupnost k nule jde, tak nevíme nic.

Tedy například $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}$ splní nutnou podmínku konvergence, neboť $\lim_{k\to +\infty}\frac{1}{k}=0$ , ale řada samotná diverguje, jak lze ukázat např. z integrálního kritéria.

misaH · 31. 10. 2014 23:11

↑ TerezaG:

Keď ideš kúpiť nejakú vec, musíš mať dosť peňazí (nutná podmienka).

Ale mať dosť peňazí nestačí, musia ju (napríklad) v obchode mať.

Asi to nie je úplná analógia, ale možno aspoň trochu ukazuje, že splnenie nutnej podmienky nemusí stačiť.

TerezaG · 31. 10. 2014 23:35

↑ misaH:
Děkuji, takže vždy při určování konvergence zjistím, jestli je splněna nutná podmínka, pokud splněna není, podle schématu - nepokračuji v dalším řešení.
Pokud je splněna nutná podmínka, pak ještě zjistím podle určitého kritéria, zda řada opravdu konverguje?

Děkuji

Brzls · 01. 11. 2014 00:00

↑ kajzlik:

Tady si trochu popletl pojmy.
Posloupnost částečných součtů je něco úplně jiného než o čem mluvíš, tak jen aby to někoho nemátlo. (tedy alespoň v běžně používané terminologii)

↑ TerezaG:
ano

TerezaG · 01. 11. 2014 00:53

↑ Brzls:

Dobře, už chápu, děkuji :)

kajzlik · 01. 11. 2014 12:55

↑ Brzls:

Ano děkuji, přemýšlel jsem moc dopředu.

Matematické Fórum

#1 31. 10. 2014 15:03

Konvergence řad

#2 31. 10. 2014 21:26

Re: Konvergence řad

#3 31. 10. 2014 21:41 — Editoval TerezaG (31. 10. 2014 21:44)

Re: Konvergence řad

#4 31. 10. 2014 22:48 — Editoval kajzlik (01. 11. 2014 10:50)

Re: Konvergence řad

#5 31. 10. 2014 23:11

Re: Konvergence řad

#6 31. 10. 2014 23:35

Re: Konvergence řad

#7 01. 11. 2014 00:00

Re: Konvergence řad

#8 01. 11. 2014 00:53

Re: Konvergence řad

#9 01. 11. 2014 12:55

Re: Konvergence řad

Zápatí