Matematické Fórum

↑ Ivana:

Ahoj .),

   možná se to rozkládá nějak takhle:





Poznámky:

   a) U integrálu jsem vytkl konstantu (číslo čtyři) před integrál.
   b) Ve jmenovateli jsem vytkl x.
   c) Jmenovatelé parciálních zlomků jsou asi jasné, nebo ne?
   d) Čitatel je u prvého zlomku A a u druhého Bx+C (Bx+C proto, že ve jmenovateli je již nerozložitelný polynom - má záporný diskriminant, kdyby byl např. kladný ... viz. níže)
   e) Dále jsem porovnával levou a pravou stranu rovnice s tím, že polynomy se rovnají právě tehdy, když jsou si rovny koeficienty u jednotlivých x^n (nevím, jak se tomu říká .-))
   f) Dostanu soustavu tří rovnic a to pro x^2, x^1 a x^0 (to je jen formální zápis, není to určitě matematicky správné, protože co kdyby tam byla nula dosazená za x nebo něco jiného nepěkného ;))
   g) Vyřešit soustavu, dosadi A, B, C do čitatelů parciálních zlomků a vrátit se k integrálu (to už nebdue problém, ne?
   [h) Popisoval jsem i úplně triviální kroky, abych se v tom neztratil ;)]


Poznámka na závěr:

   -   když ve jmenovateli vyskočí polynom např. x^2, nebo (x+A)^n [nepůjde to dále rozložit, tak budeš mít n zlomků, kde se ve jmenovateli budou postupně vyskytovat všechny mocniny, tzn. vypíši pouze jmenovatele: (x+A)^1, (x+A)^2, (x+A)^3, ... (x+A)^n], tak musíš počítat s více parciálními zlomky, teď nevím, má to snad něco s násobností kořenů nebo čím (někdo určitě vysvětlí), tedy pro x^2 by parciální zlomkyvypadali takto: .



EDIT:

Zkontrolováno a opravdu to vychází, holt jsem paranoik po ráno bez snídaně .)

EDIT II:

Zbytek postupu bude skryt pro kontrolu:

EDIT III:

Ještě jedna poznámka, ale s odkazem na řešení, proto si ji raději prohlédni až po dořešení ;):



EDIT IV:

Aaaa, už mi tam všude znovu chybí konstanty, tak to šalamounsky navolím, tak, že konstanta je rovna nule (jinak si je tam samozřejmě znovu dopiš, prosím ;))

↑ Ivana:

   Poupravil jsem si ten příspěvek, ujel mi tam v té mé ukázce jeden čitatel a dpolnil jsem nějakou poznámku, co není prosím správně, to hned pište, člověku to po ránu také úplně nemyslí, zatím jdu na snídani a přeji Ivaně pěkné počítání (ale o víkendu a v tuhle dobu? Ivano, mozek se musí cvičit, ale někdy i odpočívat ^.^).

PS: Dovolil jsem si trochu přímo tykat ;)

Jen jsem vytkl čtyřku:



Poté upravuji integrant, abych ho dostal na parciální zlomky a dále dokázal integrovat, nahoře jsem urpavoval jen samotný zlomek (protože budu integrovat pozue tento), dostal jsem se na to, že tento zlomek se rovná dvoum parc. zlomkům , pro ověření jednoduše převedu na společný jmenovatel: a to se skutečně rovná našemu původnímu zlomku, tedy mohu psát, že , tím jen ukazuji, že parciální zlomky jsme vyřešili správně, tedy nebude vadit, že budeme integrovat místo . Pak už jde jen o řešení integrálů, které jsou jednoduše řešitelné ;)