Matematické Fórum

tomson · 01. 11. 2014 23:16

Ahojte, prosil by som nejaký návod ako určiť supremum $S=sup\{f(z):z\in M\}$ a infimum $I=inf\{f(z):z\in M\}$ a určiť či tieto hodnoty $f$ nadobúda a kde ich nadobúda:

$f(x,y,z)=(x+y+z)e^{-(x+2y+3z)} ; M=\{(x,y,z)\in R^{3}:x>0,y>0,z>0\}$

Ďakujem za nejaký návod

Emca21 · 02. 11. 2014 20:31

Ahoj, extremy se obvykle vyvozuji z prvni derivace funce, kterou polozis rovnu nule. Jelikoz mas funkci 3 promennych, derivoval bych trikrat (pokazde podle jine promenne).. Nasledne ziskas stacionarni body a aplikujes tzv. Hessovu matici. Rekni v cem presne mas problem a ja ti to pripadne vysvetlim.

tomson · 02. 11. 2014 20:45

Dobre takže mám, že:

$f_{x}(x,y,z)=e^{-(x+2y+3z)}(1-x-y-z)$
$f_{y}(x,y,z)=e^{-(x+2y+3z)}(1-2x-2y-2z)$
$f_{z}(x,y,z)=e^{-(x+2y+3z)}(1-3x-3y-3z)$

Takže exponenciála bude len ťažko nulová a ide mi o tie zátvorky. Je to tak, že sa tie parciálne derivácie nemusia rovnať nule súčasne?

vanok · 02. 11. 2014 20:50

Ahoj
Mala otazka:
Ako by si riesil tvoj problem pre $g(x)=xe^{-x}, x>0$ ?

tomson · 02. 11. 2014 20:56

Nejde to nejako takto:

Na množine $M$ platí: $(x+y+z)e^{-3(x+y+z)}\le f(x,y,z)\le (x+2y+3z)e^{-(x+2y+3z)}$ a potom nejako ukázať, že suprémum funkcie vpravo je $e^{-1}$ a infímum funkcie vľavo je $0$ ? Nejaký názor na to?

tomson · 02. 11. 2014 21:03 — Editoval tomson (02. 11. 2014 21:04)

↑ vanok:

Tak to by som určil deriváciu $g'(x)=e^{-x}(1-x)$ Zistil že pre $x=1$ ide o maximum funkcie a ešte tie limity v nule sprava a nekonečne sú rovné nule. takže infímum je 0 a suprémum=maximum je 1/e. Môžeš sa prosím na to čo mi napadlo s tým odhadom zdola a zhora, kde by som už nemal problém s suprémom (lebo to sa nadobudne pre bod $(1,0,0)$ ) Len ma viac trápi ako ukzať že aj infimum zadanej funkcie bude 0.

vanok · 02. 11. 2014 21:23

↑ tomson:,
Naco derivovat ?
Exp (-x)>0,
Aka je limita pre x--> +oo?

tomson · 02. 11. 2014 21:39

↑ vanok:

no tou derivaciou mi islo o supremum ... ale mne ide o to ze ta moja zadana funckia neni presne v tvare, ze by sa dala upravit ako nejake zlozenie kde dostanem $xe^{-x}$ a mam len nejaky dolny odhad na infimum

vanok · 02. 11. 2014 22:17

Ano cize mas sup a inf v tomto pripade.

Neda sa to vyuzit aj na vseobecny pripad

tomson · 02. 11. 2014 23:01

↑ vanok:

no len mne nejako stale nie je uplne jasne preco infimum mojej funkcie na mnozime M je rovne nule

vanok · 02. 11. 2014 23:05

Ako definujes infimum?

tomson · 02. 11. 2014 23:15

↑ vanok:

no ako najväčšiu dolnú závoru

vanok · 02. 11. 2014 23:30

To vies ze limita v + oo je 0. To nestaci?

tomson · 02. 11. 2014 23:37

no blbe je ze my este nic take ako limita v nekonecne pre funkcie viacerych premennych nemame, ale tak snad to nejako dokopy este dam aj bez toho

vanok · 03. 11. 2014 00:02

Ja tiez ti vela nemozem pomoct, lebo dlhe rocky som sa o taketo problemy nezaujimal, ale mozno tato intruzia ti da analogiu co ti mozno pomoze, alebo aspon ti da pozitivne myslienky.
Tak dobre pokracovanie.

tomson · 03. 11. 2014 00:30

↑ vanok:

no jasne tak dakujem a budem to brat ako vyriesene ;)

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2014 23:16

Extremy funkcii viac premennych

#2 02. 11. 2014 20:31

Re: Extremy funkcii viac premennych

#3 02. 11. 2014 20:45

Re: Extremy funkcii viac premennych

#4 02. 11. 2014 20:50

Re: Extremy funkcii viac premennych

#5 02. 11. 2014 20:56

Re: Extremy funkcii viac premennych

#6 02. 11. 2014 21:03 — Editoval tomson (02. 11. 2014 21:04)

Re: Extremy funkcii viac premennych

#7 02. 11. 2014 21:23

Re: Extremy funkcii viac premennych

#8 02. 11. 2014 21:39

Re: Extremy funkcii viac premennych

#9 02. 11. 2014 22:17

Re: Extremy funkcii viac premennych

#10 02. 11. 2014 23:01

Re: Extremy funkcii viac premennych

#11 02. 11. 2014 23:05

Re: Extremy funkcii viac premennych

#12 02. 11. 2014 23:15

Re: Extremy funkcii viac premennych

#13 02. 11. 2014 23:30

Re: Extremy funkcii viac premennych

#14 02. 11. 2014 23:37

Re: Extremy funkcii viac premennych

#15 03. 11. 2014 00:02

Re: Extremy funkcii viac premennych

#16 03. 11. 2014 00:30

Re: Extremy funkcii viac premennych

Zápatí