Matematické Fórum

elis7 · 04. 11. 2014 08:31 — Editoval elis7 (04. 11. 2014 08:31)

Ahojte, mohli by ste mi pomôcť s týmto príkladom? Je daná kuželoseška $2x^2 -4xy + y^2 - 2x + 6y - 3 = 0$ Nájdite dotyčnice l1 a l2, ktoré prechádzajú bodom $P = [3,4]$ .
Vopred ďakujem.

Brano · 04. 11. 2014 12:49

Ak $F = 2x^2 -4xy + y^2 - 2x + 6y - 3$ tak potom $(\text{grad }F)(x,y)$ je kolmy vektor na tu kuzelosecku v bode $(x,y)$ cize ak tym bodom bude prechadzat dotycnica s $P=(3,4)$ tak musi platit
$(\text{grad }F)\cdot (x-3,y-4)=0$ to je jedna rovnica a druha je samotna rovnica kuzelosecku, lebo sa jedna o bod na nej.

elis7 · 04. 11. 2014 14:46

Ale podľa wolfram alpha bod P neleží na kužeľosečke.

jelena · 05. 11. 2014 19:41

Zdravím,

pokud bod neleží na kuželosečce(neověřovala jsem), tak můžeme řešit i cestou zápisu rovnice přímky jako $y=kx+q$ - viz vzorové úlohy na MatWiki (s rozdílem, že kuželosečku máš v obecném tvaru). Nebo ještě můžeme uvažovat tečnu k funkci zadané implicitně (a využití derivace). Jak to vidíš? Děkuji.

elis7 · 05. 11. 2014 20:16

ďakujem za odpovede nakoniec som to vyriešila cez polaru.

zdenek1 · 05. 11. 2014 20:32

↑ elis7:

Ale podľa wolfram alpha bod P neleží na kužeľosečke.

O to právě jde. Potřebuješ nalézt body dotyku a ↑ Brano: ti dal návod, jak na to
$\text{grad}\ F=(4x-4y-2;-4x+2y+6)$
směrový vektor $\vec{PT}=(x-3;y-4)$ (T je bod dotyku)
$\text{grad}\ F\cdot \overrightarrow{PT}=(x-3;y-4)\cdot (4x-4y-2;-4x+2y+6)=4x^2-8xy+2x+2y^2+10y-18=0$
Řešením soustavy
$\begin{cases}4x^2-8xy+2x+2y^2+10y-18=0\\2x^2-4xy+y^2-2x+6y-3=0\end{cases}$
dostaneš body dotyku
$T_1[1;-3]$ a $T_2[3;3]$
1) směrový vektor $(-2;-7)$ , takže normálový $(7;-2)$
$t_1:7(x-1)-2(y-3)=0$
2) směrový vektor $(0;-1)$ , takže normálový $(1;0)$
$t_2:x-3=0$