Matematické Fórum

zail · 04. 11. 2014 20:37

Ahoj,
vim ze, n ^ 2 - log ( n ) je rostouci funkce. Reknu si, n ^ 2 roste rychleji nez log ( n ) tudiz jejich rozdil roste. Nebo si nakreslim graf a poznam to. Ale jak to dokazat primo, spravne.

$(n+1)^{2} - ln ( n + 1) > n^{2} - ln (n)$
$n^2 + 2n + 1 - ln(n+1) > n^2 - ln (n)$
$2n+1 > lb(n+1)-ln(n)$
$2n+1 > ln ( \frac{n+1}{n})$

A jak dal? Asi mi jen neco nedochazi a bude to jednodueche.

Dekuju, Honza

misaH · 04. 11. 2014 22:05

↑ zail:

Z definície logaritmu?

tomson · 04. 11. 2014 23:48

↑ zail:

mozes to dokazat aj tym ze to zderivujes a ukazes ze derivacia je kladna

zail · 05. 11. 2014 18:54

Pred derivace jeste nemuzeme.

Jak by dukaz vypadal pomoci definice logaritmu?

zdenek1 · 05. 11. 2014 19:30

↑ zail:
1) pokud se bavíš o funkci $y=x^2-\ln x$ , tak ta není v celém $D_f$ rostoucí.

2) pokud se bavíme o posloupnosti $a_n=n^2-\ln n$ , tak výraz
$2n+1 > ln ( \frac{n+1}{n})$
přepíšeš na $2n+1>\ln\left(1+\frac1n\right)$
levá strana je vždy $\ge3$
zatímco argument pravé strany je $1<1+\frac1n\le2$ , takže ten logaritmus je menší než 1.

A to stačí