Matematické Fórum

TerezaG

Dobrý den, mám problém s dopočítáním příkladu na Fourierovu řadu:

Spočtěte koeficienty a napište Fourierovu SINOVOU řadu $2\pi$ periodické funkce $f: (L=\pi )$ , která je definovaná v intervalu $(0,\pi )$ předpisem $f(x)=x$

Tak jsem si řekla, že pokud má být funkce sinová, je to funkce lichá, tj. koeficienty $A_{k}$ nemá smysl počítat a počítám člen $A_{0}$ pro který platí:

$A_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx=\int_{-\pi }^{\pi }xdx$ což je $\frac{1}{\pi }(\pi ^{2}-\pi ^{2})=0$ ..k tomu jsem se chtěla zeptat, z jakého důvodu nemůžu použít meze, kde integrál jde od nuly do pí a bude se násobit 2 ?

Potom počítám koeficienty $B_{k}$ , kde platí: $B_{k}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cdot \frac{sin(k\pi x)}{L}dx$ $, B_{k}=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }x\cdot \frac{sin(k x)}{1}dx$ Po integraci perpartes dostanu:

$\frac{2}{k\pi }\cdot (-\pi \cdot cos(k\pi ))-\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }sin(kx)dx$ a ve výsledku mi má vyjít $\frac{2}{k}\cdot(-1)^{k-1}$ nedaří se mi k tomu vůbec dopočítat, vím, že $cosx=(-1)^{k}$ ale dál to dohromady nějak nemůžu dát, pořád mi něco přebývá, pokud by mi někdo poradil s postupem od toho dosazeí mezí v prvním členu po integraci perpartes přes ten další integrál až do konce, byla bych moc vděčná...

Děkuji :)

jelena · 05. 11. 2014 20:45

Zdravím,

dopočítat nejspíš nejde, jelikož není dobře per partes $B_{k}=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }x\cdot \frac{sin(k x)}{1}dx$ , překontroluj, prosím, nebo rozepiš, jak jsi počítala.

Ohledně mezí - pokud jsem pochopila Tvůj dotaz dobře, pokud je funkce lichá, tak určitý integrál na intervalu symetrickém ohledně osy y je nulový. Dodělej, prosím, ten konec a potom ještě upřesní, co potřebuješ k mezím.

poradil s postupem od toho dosazení mezí v prvním členu

Děkuji.

TerezaG · 05. 11. 2014 22:55

↑ jelena:
Perpartes je špatně? ... postupovala jsem takhle:

$B_{k}=\frac{1}{L}\cdot \int_{-L}^{L}f(x)\frac{sin(k\pi x)}{L}dx$ , $\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }x\cdot sin(kx)dx$ , $u'=sin(kx), u=-\frac{cos(kx)}{k}, v'=1, v=x$ , $-\frac{2}{k\pi }\cdot (x\cdot cos(kx))-\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }sin(kx)dx$

Tady jsem tak nějak skončila s tím, že jsem si jistá, že je to správně, v prvním členu pak dosadím meze, integrál sin(kx)dx bude pak $\frac{-cos(kx)}{k}$ kde vytkneme $k$ a kde je jinak chyba netuším :(

U těch mezí jsem chtěla vědět, pokud počítám člen $A_{0}$ , tak jestli si můžu zvolit meze od $0$ do $\pi$ v našem případě, nebo mám integrovat v mezích od $-\pi$ do $\pi$ ? ..protože pokud jsem dosadila první zmíněné meze, nevyšla mi nula, což je špatně.

Děkuji.

TerezaG · 05. 11. 2014 23:00

↑ TerezaG:
Tak moment, už vidím chybu, kde jsem místo $u\cdot v'$ dosadila...něco jiného, to nevadí, i tak se nemůžu nějak prokousat k výsledku :(

TerezaG · 05. 11. 2014 23:25

↑ jelena:
Pokud jsem na x-tý pokus počítala správně a opravila perpartes, tak stojím před problémem, kde mi vyšlo:
$-\frac{2}{k}(-1)^{k}+\frac{2}{k^{2}\pi }(sin(k\pi ))$

Co s tím teď, abych se dobrala výsledku?

Děkuji. :)

jelena · 05. 11. 2014 23:34

↑ TerezaG:

Tou 2 bys násobila, pokud je funkce sudá (odzkoušej si na některé sudé, třeba na $f(x)=x^2$ přes "celý" interval a přes dvojnásobek poloviny intervalu, můžeš si to odvodit i všeobecně). Jelikož máš lichou, tak buď rovnou vezmeš $a_0=0$ , nebo dosazuj meze přes "celý" interval.

dosadila...něco jiného, to nevadí, i tak se nemůžu nějak prokousat k výsledku :(

Z náhledu vidím důsledky oprav, $-\frac{2}{k}(-1)^{k}=(-1)\frac{2}{k}(-1)^{k}$ , potom dál zkus za $k$ dosazovat do členu $\frac{2}{k^{2}\pi }(sin(k\pi ))$ celá čísla, co vychází? Také děkuji.

TerezaG · 05. 11. 2014 23:41

↑ jelena:
Tak $A_{0}$ chápu, jsem si neuvědomila, že mám vlastně jen tu jednu zadanou funkci a ne součin funkcí, jako pak u těch dalších koeficientů..
K tomu dopočítání, tak když budu za sinus dosazovat celá čísla k, bude mi vycházet nula, takže člen tam vlastně ani nebude... zbývá jen ten první člen?
Tam mi pak nesedí to, že když násobím, exponenty sčítám... $(-1)^{1}\cdot \frac{2}{k}\cdot (-1)^{k}$ no a to se mi vynásobí, dostanu z toho $\frac{2}{k}\cdot (-1)^{k+1}$ nebo ne?
Už si nejsem moc jista :)

Děkuji, moc mi to pomohlo :)

jelena · 05. 11. 2014 23:56

↑ TerezaG:

tak to je dobře, $k\in \mathbb{Z}$ , předpis $(-1)^{1}\cdot \frac{2}{k}\cdot (-1)^{k}=\cdot \frac{2}{(-1)^1k}\cdot (-1)^{k}$ je totéž, pokud trváš na (k-1) v exponentu. Půjde o to, že pro sudé k dostáváš předpis s minusem, pro lichá s plusem (alespoň to tak vidím).

TerezaG · 05. 11. 2014 23:59

↑ jelena:
Chápu, moc děkuji za radu a spolupráci ! :))

jelena · 06. 11. 2014 00:03 — Editoval jelena (06. 11. 2014 00:03)

↑ TerezaG:

:-) S Tebou se spolupracuje dobře, jelikož jsi hodně samostatná (a to je podstatné). Označím za vyřešené - edit - a označeno samostatně

TerezaG · 06. 11. 2014 00:04

↑ jelena:
O samostatnost tady jde :) ...pokud to někdo vypočítá za mě, nic z toho nemám :)

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2014 19:33 — Editoval TerezaG (05. 11. 2014 19:34)

Fourierova řada funkce

#2 05. 11. 2014 20:45

Re: Fourierova řada funkce

#3 05. 11. 2014 22:55

Re: Fourierova řada funkce

#4 05. 11. 2014 23:00

Re: Fourierova řada funkce

#5 05. 11. 2014 23:25

Re: Fourierova řada funkce

#6 05. 11. 2014 23:34

Re: Fourierova řada funkce

#7 05. 11. 2014 23:41

Re: Fourierova řada funkce

#8 05. 11. 2014 23:56

Re: Fourierova řada funkce

#9 05. 11. 2014 23:59

Re: Fourierova řada funkce

#10 06. 11. 2014 00:03 — Editoval jelena (06. 11. 2014 00:03)

Re: Fourierova řada funkce

#11 06. 11. 2014 00:04

Re: Fourierova řada funkce

Zápatí