Matematické Fórum

___JIRIK___ · 01. 03. 2009 14:29

Dobrý den, potřeboval bych prosím pomoct s výpočtem obsahu lichoběžníka. Úloha zní následovně:

Vypočítejte obsah lichoběžníka ABCD (AB ll CD), jsou-li dány velikosti a,c,alfa, beta.

Děkuji

___JIRIK___ · 01. 03. 2009 14:47

Bohužel tu mám ještě minimálně další dvě úlohy, se kterými si nevím rady. První zní:

Délka jedná odvěsny pravoúhlého trojúhelníka ABC je rovna 75% délky druhé odvěsny. Určete obvod tohoto trojúhelníka, je-li jeho obsah S=24cm^2.

Druhá úloha:

Dvě strany trojúhelníka mají délky 3cm a 4cm, jeho obsah je 3cm^2. Určete délku třetí strany.

Předem mockrát děkuji za pomoc.

sl · 01. 03. 2009 15:39 — Editoval sl (01. 03. 2009 17:02)

↑ ___JIRIK___:Obsah lichoběžníka
Do vzorce pro obsah lichoběžníka nám chybí výška v, tedy z bodu D spustíme kolmici /výšku v/na stranu a - patu kolmice označíme X - dostaneme pravoúhlý trojúhelník AXD, ve kterém známe úhel alfa.
Z bodu C to samé a patu kolmice označíme Y a dostaneme paravoúhlý trojúhelník CYB. Z trojúhelníku AXD víme, že tg alfa=v/x, kde x velikost části straby a, tedy velikost AX.
Z trojúhelníku CYB víme, že tg beta=v/y /y jako malé x, akorát u vrcholu B. Dále víme, že x+y = a-c. Z těchto tří rovnic dokážeme vypočítat v a poté obsah.Pokud to není jasné,napiš.Sl

plisna · 01. 03. 2009 15:55

Délka jedná odvěsny pravoúhlého trojúhelníka ABC je rovna 75% délky druhé odvěsny. Určete obvod tohoto trojúhelníka, je-li jeho obsah S=24cm^2.

>> oznacme delku jedne odvesny x, pak delka druhe odvesny je 0,75x. tedy obsah tohoto trojuhelniku je $S=\frac{0,75x \cdot x}{2} = 24$ . nyni lze snadno vypocist delky odvesen a pak pomoci pythagorovy vety dopocitat delku prepony a obvod.

Dvě strany trojúhelníka mají délky 3cm a 4cm, jeho obsah je 3cm^2. Určete délku třetí strany.

>> na wikipedii hledej Heronuv vzorec

___JIRIK___ · 01. 03. 2009 21:54

Mnohokrát děkuji za pomoc. :-)))))

Chrpa · 02. 03. 2009 17:18

↑ ___JIRIK___:
Př. 2)
$c=\sqrt{25\pm12\sqrt 3}$

gadgetka · 02. 03. 2009 19:01

___JIRIK___ napsal(a):
Dobrý den, potřeboval bych prosím pomoct s výpočtem obsahu lichoběžníka. Úloha zní následovně:

Vypočítejte obsah lichoběžníka ABCD (AB ll CD), jsou-li dány velikosti a,c,alfa, beta.

Děkuji

Znáš výsledek?
Mně to vyšlo:

$S=\frac{(a+c)(a-c)}{2}*\frac{tg{\alpha*tg\beta}}{tg\alpha+tg\beta}=\frac{a^2-c^2}{2}*\frac{tg{\alpha*tg\beta}}{tg\alpha+tg\beta}$

gadgetka

___JIRIK___ napsal(a):
Bohužel tu mám ještě minimálně další dvě úlohy, se kterými si nevím rady. První zní:

Délka jedná odvěsny pravoúhlého trojúhelníka ABC je rovna 75% délky druhé odvěsny. Určete obvod tohoto trojúhelníka, je-li jeho obsah S=24cm^2.

$a=0,75x\nl b=x\nl c=\sqrt{(0,75x)^2+x^2 }=\sqrt{1,5625*x^2}=1,25x\nlo=0,75x+x+1,25x=3x\nlS=\frac{x*0,75x}{2}=24\nl0,75x^2=48\nlx=\sqrt{\frac{48}{0,75}}=\sqrt{64}=8$

$o=3*8=24(cm)$

Cheop · 03. 03. 2009 09:04 — Editoval Cheop (03. 03. 2009 09:04)

↑ gadgetka:
Myslím, že příklad je špatně.
Můj výpočet:
Označme: a,b - odvěsny
c - přepona
$S=\frac{a\cdot b}{2}=24\nla\cdot b=48\nlb=\frac{3a}{4}\nl\frac{3a^2}{4}=48\nla^2=64\nla=8\nlb=\frac{3a}{4}=\frac{3\cdot 8}{4}\nlb=6$
Z Pythagorovy věty:
$a^2+b^2=c^2\nl8^2+6^2=c^2\nlc^2=100\nlc=10$

$o=a+b+c=8+6+10=24\,\textrm{cm}$

gadgetka · 03. 03. 2009 09:17

↑ Cheop:

Jj, byla chyba na konci příkladu, tak jsem si ji dovolila opravit editací ... děkuji, Cheope :)

Cheop · 03. 03. 2009 09:49 — Editoval Cheop (04. 03. 2009 10:21)

↑ ___JIRIK___:

Dvě strany trojúhelníka mají délky 3cm a 4cm, jeho obsah je 3cm^2. Určete délku třetí strany.
Jak už tady někdo psal:
Známe obsah trojúhelníka a dvě strany.
Pro výpočet obsahu trojúhelníka, pokud známe délky všech stran lze využít Heronův vzorec.
My známe dvě strany a obsah tudíž z toho můžeme určit délku třetí strany.
Heronův vzorec:
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ kde a,b,c jsou délky stran a $s=\frac{a+b+c}{2}$
Určíme tedy malé s.
$s=\frac{a+b+c}{2}=s=\frac{3+4+c}{2}=\frac{7+c}{2}$
Určíme s - a
$s-a=\frac{7+c}{2}-3=\frac{c+1}{2}$
Určíme s - b
$s-b=\frac{7+c}{2}-4=\frac{c-1}{2}$
Určíme s - c
$s-c=\frac{7+c}{2}-c=\frac{7-c}{2}$
Nyní můžeme dosadit do Heronova vzorce tj:
$3=\sqrt{\frac{(7+c)}{2}\frac{(7-c)}{2}\frac{(c+1)}{2}\frac{(c-1)}{2}}\nl12=\sqrt{(7^2-c^2)(c^2-1)}$ rovnici umocníme a dostaneme:
$144=(49-c^2)(c^2-1)$ - úpravou dospějeme k rovnici:
$c^4-50c^2+193=0$ zavedeme substituci $c^2=a\,\Rightarrow\,c=\sqrt a$

$a^2-50a+193=0\nla_{1,2}=25\pm12\sqrt 3$ - vrátíme se k substituci a dostaneme:
$c_{1,2}=\sqrt{25\pm12\sqrt 3}$

Třetí strana trojúhelníku má přibližně délku 6,7664 cm nebo 2,05314 cm

Viz obrázek
http://forum.matweb.cz/upload/839-d1.jpg

Cheop · 03. 03. 2009 09:54 — Editoval Cheop (03. 03. 2009 10:28)

↑ gadgetka:
Přesto jak jsi přišla na toto:
$o=3*8=24(cm)$

PS Už to vidím. Odvolávám co jsem odvolal.

gadgetka

Cheop napsal(a):
↑ gadgetka:
Přesto jak jsi přišla na toto:
$o=3*8=24(cm)$

O pár řádků výš mám rozepsané za pomoci x strany a, b, c i obvod. Protože obvod vyšel 3x a x je osm, 3*8 je 24 :)

Jedinou chybu, co jsem u příkladu měla, bylo to, že jsem u S místo násobení pravé strany dvěma, tuto stranu dvěma dělila. :)

Zdravím a přeji pěkný den.

gadgetka · 03. 03. 2009 23:35

Cheop napsal(a):
↑ gadgetka:
Přesto jak jsi přišla na toto:
$o=3*8=24(cm)$

PS Už to vidím. Odvolávám co jsem odvolal.

:)

Matematické Fórum

#1 01. 03. 2009 14:29

obsah lichoběžníka

#2 01. 03. 2009 14:47

Re: obsah lichoběžníka

#3 01. 03. 2009 15:39 — Editoval sl (01. 03. 2009 17:02)

Re: obsah lichoběžníka

#4 01. 03. 2009 15:55

Re: obsah lichoběžníka

#5 01. 03. 2009 21:54

Re: obsah lichoběžníka

#6 02. 03. 2009 17:18

Re: obsah lichoběžníka

#7 02. 03. 2009 19:01

Re: obsah lichoběžníka

_JIRIK_ napsal(a):

#8 02. 03. 2009 19:19 — Editoval gadgetka (03. 03. 2009 09:16)

Re: obsah lichoběžníka

_JIRIK_ napsal(a):

#9 03. 03. 2009 09:04 — Editoval Cheop (03. 03. 2009 09:04)

Re: obsah lichoběžníka

#10 03. 03. 2009 09:17

Re: obsah lichoběžníka

#11 03. 03. 2009 09:49 — Editoval Cheop (04. 03. 2009 10:21)

Re: obsah lichoběžníka

#12 03. 03. 2009 09:54 — Editoval Cheop (03. 03. 2009 10:28)

Re: obsah lichoběžníka

#13 03. 03. 2009 10:28 — Editoval gadgetka (03. 03. 2009 10:30)

Re: obsah lichoběžníka

Cheop napsal(a):

#14 03. 03. 2009 23:35

Re: obsah lichoběžníka

Cheop napsal(a):

Zápatí