Matematické Fórum

Callme · 07. 11. 2014 21:44

Cavte ako vyriesim
Vyšetrite relatívnu a absolútnu konvergenciu radu $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3-4}=$
$\lim_{n\to\infty }|\frac{(-1)^{n-1}}{n^3-4}|=|\frac{1}{n^{2}-1}|=\frac{1}{\infty }=0$ je splnena nutna podmienka konvergencie ale ako dokazem postacujucu podmienku?
Z tohto $|\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3-4}|<\varepsilon$ ju urcim?

tomson · 07. 11. 2014 22:23

↑ Callme:

neviem aké kritéria na konvergenciu radov poznáš, ale na tu absolútnu konvergenciu by som buď použil limitné zrovnávacie alebo len obyčajné zrovnávacie, kde ukážeš že tento rad v absolútnej hodnote je určite menší ako nejaký konvergentný a na tu relatívnu konvergenciu napríklad Leibnizovo kritérium ak ti to niečo hovorí alebo len tvrdenie, že ak rad konverguje absolútne tak potom konverguje.

Callme · 07. 11. 2014 22:44 — Editoval Callme (07. 11. 2014 22:44)

Na absolutnu konvergenciu nemozem pouzit $\sum_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ ? Aby rad konvergoval musia byt splnene 2 podmienky a to nutna a postacujuca. Nutna je ked je limita rovna 0 len ja neviem ako na tu postacujucu

tomson · 07. 11. 2014 23:03 — Editoval tomson (07. 11. 2014 23:05)

↑ Callme:

postačujúcou myslíč niečo ako Bolzano-Cauchyovu podmienku?
tzn: $\forall \varepsilon >0:\exists n_{0}\in \mathbb{N}:\forall n,m>n_{0}:|a_{n+1}+a_{n+2} +... +a_{m}|<\varepsilon$ alebo čo ste si uvádzali ako postačujúcu podmienku. A nemali ste sformulované ani žiadne kritéria na konvergenciu radov?

Callme · 07. 11. 2014 23:23

↑ tomson:
Ano Cauchy-Bolzanova
Mam kriteria ale nemoze sa to riesit cez to co som napisal?

tomson · 07. 11. 2014 23:28

↑ Callme:

no ak chces ukazat absolutnu konvergenciu tak jasne ze musis ukazat ze konverguje $\sum_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ ako si napísal, lenže ukazovať že nejaký zadaný rad konverguje tak, že ukážeš že spĺňa Cauchy-Bolzanovu podmienku je v mnohých šialené podľa mňa. Práve preto sa dokazovali tie kritéria, aby si mal nejaký ľahší aparát na dokázanie konvergencie.

Callme · 07. 11. 2014 23:42 — Editoval Callme (07. 11. 2014 23:48)

↑ tomson:
Viem ze jedna podmienka je nutna a druha je postacujuca a ta postacujuca je asi Cauchy-Bolzanova aka ina by mohla byt postacujuca? Kebyze to je CB tak ako to dokazem?

Bati · 07. 11. 2014 23:46

↑ Callme:
Řada konverguje absolutně dle limitního srovnávacího kritéria, a tedy konverguje i neabsolutně.

Callme · 07. 11. 2014 23:54 — Editoval Callme (07. 11. 2014 23:56)

↑ Bati:
Co znamena neabsolutne? Relativne? Ja by som potreboval vediet len ako bude vyzerat Cauchy-Bolzanova podmienka pre tento rad

Bati · 08. 11. 2014 00:02

↑ Callme:
Neabsolutně znamená ne absolutně, tj. konvergenci zadané řady. Cauchy-Bolzanovu podmínku zde napsal tomson. Tato podmínka je celkem triviálně ekvivalentní definici konvergence řady, a proto ve většině případů je její ověření stejně náročné, jako vyšetření konvergence dané řady z definice.

Callme · 08. 11. 2014 00:13 — Editoval Callme (08. 11. 2014 00:17)

Ked rad konverguje staci len nutna podmienka aby som dokazal ze konverguje? Ziadna ina podmienka uz neexistuje ktora sa pri konvergencii musi dokazat lebo co ja viem tak su tie podmienky 2?

tomson · 08. 11. 2014 00:17 — Editoval tomson (08. 11. 2014 00:23)

↑ Callme:

No snažíme sa ti tu vysvetliť, že existuje síce postačujúca podmienka na konvergenciu ... lenže na nejaké počítanie boli dokázané kritéria, ktorá sa väčšinou dokážu tak, že sa ukáže, ak rad splňuje nejaké predpoklady tak potom nutne splňuje tu CB podmienku a teda konverguje. Takže pri určovaní konvergencie ich môžeš používať ... nutná podmienka môže niekedy poslúžiť k tomu, že ukážeš, že ju daný rad nesplňuje a teda nemôže konvergovať

Bati · 08. 11. 2014 00:20

↑ Callme:
Nutná podmínka samozřejmě nestačí, pokud není zároveň postačující. B-C podmínka je, jak jsem napsal, ekvivalentní definici konvergence řady, a tedy to je podmínka nutná i postačující. Jak jsem dále poznamenal, tato ekvivalence je triviální, a proto ověření této podmínky je zpravidla náročné. Proto často používáme podmínky, které jsou pouze postačující, např. limitní srovnávací kritérium, které jsem už zmínil.

Callme · 08. 11. 2014 00:25 — Editoval Callme (08. 11. 2014 00:33)

↑ tomson:
Ked to vypocitam cez porovnávacie kritérium v limitnom tvare tak splnim obe podmienky? A to co mam tu ↑ Callme: splna len 1? Ked napisem toto co mam tu tak to mam zle ↑ Callme: lebo ked to takto napisem tak splnam len nutnu podmienku ale ako to mam upravit aby to riesenie bolo v poriadku?

Bati · 08. 11. 2014 00:30

↑ Callme:
Zřejmě ti nedochází základní fakt, že splněnost některé postačující podmínky pro určitou vlastnost implikuje splněnost všech nutných podmínek pro tuto vlastnost.

Callme · 08. 11. 2014 00:34

↑ Bati:
Ako by si to vyriesil ty aby to riesenie bolo v poriadku a splnalo vsetko co ma?

Bati · 08. 11. 2014 00:41

↑ Callme:
Takhle ↑ Bati:.

Pokud by byly třeba detaily, napsal bych $\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{\frac1{n^3}}=1$ , takže podle limitního srovnávacího kritéria řada konverguje absolutně, neboť víme, že $\sum\frac1{n^{\alpha}}$ konverguje pro $\alpha>1$ .

Callme · 08. 11. 2014 00:52 — Editoval Callme (08. 11. 2014 00:56)

↑ Bati:
Ake detaily a ako ti vyslo 1 ked $|a_{n}|$ je 0 alebo ako sa pouziva limitne kriterium?

tomson · 08. 11. 2014 00:55

↑ Callme:

tak ked si tu limitu co napisal Bati napises na papier tak uvidis preco mu vysla 1-ka

Bati · 08. 11. 2014 00:58

↑ Callme:
Kdyby $|a_n|$ byla nula, tak je po všem:-)

Promiň, ale tohle už je na mě moc. Buď se tu najde někdo jiný, od koho to pochopíš, anebo se budeš muset snažit víc. Dobrou noc.

Callme · 08. 11. 2014 01:03

$|a_{n}|$ je toto $|\frac{(-1)^{n-1}}{n^3-4}|$ ?

tomson · 08. 11. 2014 01:05

↑ Callme:

áno

Callme · 08. 11. 2014 01:09 — Editoval Callme (08. 11. 2014 01:11)

Cize limita vyzera takto $\lim_{n\to\infty}\frac{|\frac{(-1)^{n-1}}{n^3-4}|}{\frac1{n^3}}$ a to sa rovna 1 a to je riesenie celej ulohy a nic z toho co mam v #1 sa nepise?

tomson · 08. 11. 2014 01:14

↑ Callme:

áno presne tak vyzerá tá limita ... to čo máš v #1 konkrétne $\lim_{n\to\infty }|\frac{(-1)^{n-1}}{n^3-4}|=|\frac{1}{n^{2}-1}|=\frac{1}{\infty }=0$ tam byť samozrejme môže, čím ale len ukážeš že ten rad konvergovať môže ale to že konverguje ukážeš presne tak ako to písal Bati v #17

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2014 21:44

Konvergencia radu

#2 07. 11. 2014 22:23

Re: Konvergencia radu

#3 07. 11. 2014 22:44 — Editoval Callme (07. 11. 2014 22:44)

Re: Konvergencia radu

#4 07. 11. 2014 23:03 — Editoval tomson (07. 11. 2014 23:05)

Re: Konvergencia radu

#5 07. 11. 2014 23:23

Re: Konvergencia radu

#6 07. 11. 2014 23:28

Re: Konvergencia radu

#7 07. 11. 2014 23:42 — Editoval Callme (07. 11. 2014 23:48)

Re: Konvergencia radu

#8 07. 11. 2014 23:46

Re: Konvergencia radu

#9 07. 11. 2014 23:54 — Editoval Callme (07. 11. 2014 23:56)

Re: Konvergencia radu

#10 08. 11. 2014 00:02

Re: Konvergencia radu

#11 08. 11. 2014 00:13 — Editoval Callme (08. 11. 2014 00:17)

Re: Konvergencia radu

#12 08. 11. 2014 00:17 — Editoval tomson (08. 11. 2014 00:23)

Re: Konvergencia radu

#13 08. 11. 2014 00:20

Re: Konvergencia radu

#14 08. 11. 2014 00:25 — Editoval Callme (08. 11. 2014 00:33)

Re: Konvergencia radu

#15 08. 11. 2014 00:30

Re: Konvergencia radu

#16 08. 11. 2014 00:34

Re: Konvergencia radu

#17 08. 11. 2014 00:41

Re: Konvergencia radu

#18 08. 11. 2014 00:52 — Editoval Callme (08. 11. 2014 00:56)

Re: Konvergencia radu

#19 08. 11. 2014 00:55

Re: Konvergencia radu

#20 08. 11. 2014 00:58

Re: Konvergencia radu

#21 08. 11. 2014 01:03

Re: Konvergencia radu

#22 08. 11. 2014 01:05

Re: Konvergencia radu

#23 08. 11. 2014 01:09 — Editoval Callme (08. 11. 2014 01:11)

Re: Konvergencia radu

#24 08. 11. 2014 01:14

Re: Konvergencia radu

Zápatí