Matematické Fórum

martanko · 01. 03. 2009 15:54

$\int \frac{5x-1}{x^2+2x+3} dx$

problem mi robi menovatel..nikdy som nepochopil ako sa upravuje vyraz nauplny stvorec :(

plisna · 01. 03. 2009 16:00

vezmu cleny obsahujici neznamou x a doplnim ji podle vzorce pro kvadrat dvojclenu: vezmu $x^2+2x$ a doplnim podle $a^2+2ab+b^2$ na $x^2+2x+1=(x+1)^2$ . takze mame $\underbrace{x^2+2x+1}_{(x+1)^2}-1+3 = (x+1)^2+2$

martanko · 01. 03. 2009 16:04

↑ plisna:

sakra ja som slepy :)) k tomuto som vzdy prisol..no silou mocou som sa vzdy chcel dostat az k parcialnom zlomkom :)

martanko · 01. 03. 2009 16:29

moze prosim vas vyrat ten integral cely?? vysledok sa mi zakazdym lisi o jedno cislo kvoli ktoremu mi to nevychadza a neviem kde robim chybu

jelena · 01. 03. 2009 22:47

Zdravím :-)

já bych pomocí úprav vytvořila 2 integraly - jeden c čitatelem - derivaci jmenovatele, druhý s 1 v jmenovateli:

$\int \frac{5x-1}{x^2+2x+3} dx=\int \frac{2.5(2x+2)-6}{x^2+2x+3} dx=2.5\int \frac{2x+2}{x^2+2x+3} dx-6\int \frac{1}{x^2+2x+3}dx$

1. integral: substituce

$x^2+2x+3=t$

$(2x+2)dx=dt$

$\int \frac{1}{t} dt=\ln|t|=\ln|t|=\ln|x^2+2x+3|$ absolutní hodnota není nutná, nebot výraz je kladný pro kazdé x z R

2. úprava dle kolegy plisna a povede to na arctg:

$\int\frac{1}{2\left((\frac{x+1}{\sqrt2})^2+1\right)}dx=$

substituce

$\frac{x+1}{\sqrt2}=t$

$\frac{1}{\sqrt2}dx=dt$

$\frac{\sqrt2}{2}\int\frac{1}{t^2+1}dx=\frac{\sqrt2}{2}\mathrm{arctgt}=\frac{\sqrt2}{2}\mathrm{arctg(\frac{x+1}{\sqrt2})}$

Uz to dokoncis?

plisna · 02. 03. 2009 00:03

↑ jelena:↑ martanko: mozna bude nekomu spise vyhovovat pocitat druhy integral postupnymi substitucemi:

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+2x+3}=\int \frac{\mathrm{d}x}{(x+1)^2+2}=\begin{vmatrix}x+1=t\nl\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\end{vmatrix}=\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2+2}=\begin{vmatrix}t=\sqrt{2}u\nl\mathrm{d}t=\sqrt{2}\mathrm{d}u\end{vmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\int \frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}=\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan u + C= \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C$

jelena · 02. 03. 2009 00:15

↑ plisna:

Zdravím srdečně :-)

i to je možné, děkuji za doplnění.

A konstatuji, že máme 100 stranek v tématech VŠ - vaše zásluha, kolegové :-)

Matematické Fórum

#1 01. 03. 2009 15:54

integral

#2 01. 03. 2009 16:00

Re: integral

#3 01. 03. 2009 16:04

Re: integral

#4 01. 03. 2009 16:29

Re: integral

#5 01. 03. 2009 22:47

Re: integral

#6 02. 03. 2009 00:03

Re: integral

#7 02. 03. 2009 00:15

Re: integral

Zápatí