Matematické Fórum

Elc · 07. 11. 2014 15:42

Dobrý den,

zkouším si počítat lineární rovnice z této stránky - http://www.rovnice.kosanet.cz/lin_rce.html

a nechápu některou úpravu výrazů, většinou v případech se zlomky.

Např. v prvním příkladu byl výsledek lineární rovnice //forum.matweb.cz/upload3/img/2014-11/70704_k04.png

A následně byla provedena tato ůprava výrazu na pravé straně:

OTÁZKY:

- můžeme upravit tímto způsobem (vynásobením pravé strany zlomkem) pouze jednu stranu rovnice?

Pokud ano, proč? Jestliže už známe hodnotu jednoho x pak už nemusíme používat ekvivalentní úpravy a můžeme si tedy dovolit vynásobit výsledek zlomkem ve snaze ho zjednodušit?

- navazující dotaz, jak se z druhé úpravy ( která spočívá tom že si odmocninu ze tří pouze připíšeme k jmenovateli a čitateli prvního zlomku) stala třetí úprava?
Proč když vynásobím i čitatel i jmenovatel odmocninou ze tří dostanu to co tam je?

Další navazující dotaz podobného typu vztahující se na další příklad s lineární rovnicí.

- jak se z //forum.matweb.cz/upload3/img/2014-11/71236_k21.gif

stane na levé straně ?

Pravou stranu chápu, jde o roznásobování závorek ale jaké úpravy přesně byly provedeny nalevo?

Děkuji a hezký den

misaH · 07. 11. 2014 18:01 — Editoval misaH (07. 11. 2014 18:10)

↑ Elc:

Zlomok na pravej strane rozširuješ, to jest iba ho upravuješ. S celou rovnicou to nemá nič spoločné. Ako keby si miesto $\frac 24$ napísal do ďalšieho riadku $\frac 12$

V úlohe sa úpravou zlomku sleduje to, aby v menovateli nebola odmocnina.

Po pridaní odmocniny hore aj dolu sa proste roznásobilo a umocnilo.
$\sqrt 3\cdot \sqrt 3=$\sqrt 3$^2=\sqrt 9 =3$

Zlomky naľavo sa upravili na spoločný menovateľ a odrátali sa.

Elc · 07. 11. 2014 19:34

↑ misaH:

Děkuji moc za odpověď! Tím se vysvětlují odmocniny.

Přesto stále nechápu, jak v prvním příkladě získali předposlední krok a následně výsledek.

Kam zmizela trojka v čitateli a jak se z -3 ve jmenovateli stala -1?

A co bylo provedeno následně za úpravu aby vyšel výsledek takový jaký vyšel?

A ještě jedna věc, proč by nešlo prostě hned odstranit krácením odmocninu ze tří v čitateli i jmenovateli tudíž by byl výsledek 3?

A ve druhém příkladu:

Jmenovatel je tedy součin obou jmenovatelů a jestliže je oba vydělím prvním jmovatelem tak se jeden z nich jakoby vykrátí a poté co vynásobím ten zbylý čitatelem (jedničkou) tak se mi dostane nahoru do čitatele, chápu to dobře?

raikou243

↑ Elc:
Ty nechápeš jak se z $\frac{\sqrt{3}-1}{-1}$ stalo $1-\sqrt{3}$ ? Dělíš dvojčlen jednočlenm - záporné děleno záporným je kladné - proto +1. Pak dělíš kladné záporným - tu odmocninu ze tří dostaneš v záporné variantě. Proto takhle.
Jestli nechápeš ten předchozí krok tak tam se ta 3 v čitateli zkrátila s -3 ve jmenovateli - proto je dole -1
Snad rozumím problému

P.S. Ta odmocnina ze tří hned ze začátku nešla zkrátit protože krátit můžeš jenom v součinu. Tam máš součet.

Elc · 07. 11. 2014 20:38

↑ raikou243:

Aha. Nevěděl jsem jestli se může krátit kladné číslo se záporným.

A kde přesně je součet? V tom zlomku je v čitateli odečítání.

misaH · 07. 11. 2014 22:49

↑ Elc:

Krátiť sa môže iba v súčine.

Elc · 08. 11. 2014 13:59 — Editoval Elc (08. 11. 2014 14:00)

Jo to je mi jasné ale nemohla by se ta mínus odmocnina ze tří hned na začátku jakoby vydělit tou pod tím tudíž by se z toho stala jednička a zbyla by tam trojka?

Mám tu 4 linární rovnice a vůbec si s nimi nevím rady. Nevyšla mi ani jedna. Hlavně nevím jak se zbavit umocnění na druhou které v lineární rovnici být nemůže.

V první rovnici jsem zkoušel roznásobovat závorku podle vzorečku ale stejně tam bude x na druhou což v lineární rovnici být nesmí ne?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-11/51343_rovnice.JPG

Tak jestli se někomu bude chctít je řešit moc bych to ocenil.

Výsledky jsou:

A) -1,1
B) 3/2 (zapsané ve zlomku)
C) 1/3 (zapsané ve zlomku)
D) přeškrtnutá nula takže nemá řešení? (ale přesto bych byl vděčný jestli se do řešení pustíte kdyby jste sem napsali postup jak na to příjdu že nemá řešení).

Děkuji a hezký víkend!

raikou243

↑ Elc:No, zaprvé nikde není psáno že jsou to lineární rovnice (ale pokud je berete, je to asi jako kdyby tam bylo napsané ''řeš lineární rovnici v $\mathbb{R}$ ) a v té první rovnici po roznásobení té druhé závorky dostaneš
$-(3x^{2}+6x+3)$ (všimni si $-3x^{2}$ !!) a na pravé straně $2x-3x^{2}$ . K oběma stranám přičteš výraz $3x^2$ a máš z toho rovnici lineární. To už snad dořešit zvládneš :)
Umocnění na druhou se v těchto rovnicích zbavíš tak, že výraz $ax^{2}$ dostaneš na obou stranách. Pak ho prostě z rovnice vyhodíš odečtením z obou stran (či přičtením, pokud má záporné znaménko).
Př. po vynásobení poslední rovnice 6 dostáváš na levé straně $4x^2$ a na pravé taky. Prostě to jen odečteš :)

P.S.: Ta přeškrtnutá nula v posledním příkladě skutečně znamená, že rovnice nemá řešení. Upravil jsem ji na tvar $9=15$ což neplatí.

Elc · 08. 11. 2014 15:04

↑ raikou243:

Je to pod kapitolou lineární tak by to být měly : ) Nebo by z toho měly jít udělat.

Jaktože v té první dostanu při roznásobení druhé závorky tento výsledek? Jestliže si nejdřív roznásobím (x+1) (x+1)
a pak to vynásobím celé třema tak kde se vzalo 2x + 1 ?

raikou243 · 08. 11. 2014 16:18

↑ Elc:Moje chyba, špatně roznásobeno :-) Omlouvám se.

Elc · 08. 11. 2014 16:51

↑ raikou243:

Zkusím si ty rovnice vypočítat později znovu jestli mi už vyjdou. Teď si zkouším výrazy.

U tohoto výrazu : $(5h^{2} - 7h + 0,5)-(2h-0,1)^{2}$

Ať si roznásobím tu druhou závorku jakkoliv, tak se nemůžu dostat ke správnému výsledku který je $h^{2}-6,6h+0,49$

Co dělám špatně? : )

misaH · 08. 11. 2014 18:20

↑ Elc:

Ako Ti odpovedať, keď svoj postup neudávaš?

$5h^{2} - 7h + 0,5-(4h^{2}-0,4h+0,01)$

Elc · 08. 11. 2014 20:31

Děkuji ten příklad už dává smysl. Zapomínal jsem vždycky na mocninu u h a místo $4h^{2}$ sem tam vždycky dával jen $4h$

Tím se tento příklad vysvětluje : )

Teď jsem si zkoušel počítat ty rovnice a vyšla mi jenom ta první. Vůbec si s těma dalšíma nevím rady. např. ta druhá, zde je můj postup:

Zadání: $6-\frac{3-2y}{5}\cdot 2=4y$

Krok 1: Nejdřív bych si vynásobil zlomek dvojkou, takže dostávám:

$6-\frac{6-4y}{5}=4y$

Krok 2: Pak jsem si dal šestku do zlomku a odečetl je:

$\frac{6}{1}-\frac{6-4y}{5}=4y$ z čehož mi vyšlo: $\frac{30-6-4y}{5}=4y$

Krok 3: Odečetl jsem v čitateli 30 - 6 a celou rovnici jsem vynásobil 5 aby se mi nalevo zkrátila ve jmenovateli, dostávám tak:

$24-4y=20y$

Krok 4: -4 jsem si hodil nalevo a vychází mi : $24=24y$ což je $y=1$

Avšak podle učebnice je výsledek $\frac{3}{2}$

Co jsem udělal špatně? : )

misaH · 08. 11. 2014 20:34 — Editoval misaH (08. 11. 2014 20:36)

↑ Elc:

$\frac{6}{1}-\frac{(6-4y)}{5}=4y$

Odčituješ celý čitateľ, zátvorka je nutná.

$\frac{30-(6-4y)}{5}=4y$

Elc · 08. 11. 2014 20:42

↑ misaH:

A můžu si teda 30ku jakoby vydělit 5kou tudíž by mi zbylo $6-(6-4y)=4y$

A a následně zmizí šestky a zbývá mi $-4y=4y$ z čehož se taky nedopracuju k třem polovinám.

misaH · 08. 11. 2014 20:54 — Editoval misaH (08. 11. 2014 20:57)

↑ Elc:

Piatimi nemôžeš deliť len tridsiatku, ale aj tú zátvorku.

Radšej násobiť celú rovnicu piatimi.

$6-\frac{(6-4y)}{5}=4y$

$30-(6-4y)=20y$

misaH · 08. 11. 2014 21:19 — Editoval misaH (08. 11. 2014 21:20)

↑ Elc:

V príspevku #7 píšeš, že je Ti jasné že krátiť sa môže iba v súčine (násobení) - a potom sa pýtaš, prečo sa nemohlo krátiť, keď v čitateli súčin nebol.

Elc · 08. 11. 2014 21:20

↑ misaH:

To by asi bylo nejvýhodnější udělat hned po tom co si zlomek vynásobím dvěma že?

Ale stejně, pokud mám $30-(6-4y)=20y$

Následně odečtu 30-6 (protože 30-4y odečíst nemůžu, to by muselo být y i za 30kou že?)

Zbyde mi tak $24-4y=20y$ a po přehození dostávám opět $24=24y$ což bude zase $1=1y$

Tak už fakt nevím jak se mám dostat na $\frac{3}{2}$ : )

misaH · 08. 11. 2014 21:23

↑ Elc:

Keď je pred zátvorkou mínus, nemôžeš ju len tak vynechať.

Zišla by sa Ti nejaká obyčajná učebnica matematiky, takéto "učenie" nemá zmysel.

$30-(6-4y)=20y$

$30-6+4y=20y$

Elc · 08. 11. 2014 21:44 — Editoval Elc (08. 11. 2014 22:49)

↑ misaH:

Tak teď už to smysl dává : )

Co přesně za operaci se provedlo k odstranění závorky? Nebo je prostě jen pravidlo že pokud ji potřebuju odstranit a chci si nechat původní znaménko před závorkou tak všechna znaménka uvnitř musím převrátit?

Vím že když potřebuju z - před závorkou udělat + tak se všechny znaménka v závorce mění protože násobím -1 ale tady je znaménko před závorkou stejné.

Update: Zkoušel jsem poslední dvě rovnice, myslím že mi vyšly ale přesto sem radši napíšu postup jestli je správný.

Zadání: $\frac{v}{4}-\frac{5v+29}{16}=\frac{1}{2}v-2x$

Krok 1: Celou rovnici vynásobím 16ti. Získám:

$4v-(5v+29)=8v-32$

Krok 2: Nalevo odstraním závorku a odečtu v:

$-v -29=8v-32$

Krok 3: Všechna čísla si dám nalevo a všechna v napravo a upravím, vychází:

$3=9v$ což je 0,3 perioda a to se rovná $\frac{1}{3}$ což je výsledek : )

A postup poslední rovnice:

Zadání: $\frac{(3-2x)^{2}}{6}-\frac{5}{2}=\frac{2x^{2}}{3}-2x$

Krok 1: Roznásobím závorku nalevo a celou rovnici vynásobím 6. Dostávám tak:

$9-12x+4x^{2}-15=4x^{2}-12x$

Krok 2: Odečtu od rovnice 4x na druhou a zbyde mi:

$9-12x-15=-12x$

Krok 3: Přičtu k celé rovnici 12x abych se jich na obou stranách zbavil a 15ku pak hodím napravo a získám:

9 = 15 což není prava takže rovnice nemá řešení.

Snad to mám dobře.

Elc · 09. 11. 2014 13:23 — Editoval Elc (09. 11. 2014 13:33)

Přeju hezkou Neděli!

Mám tu další 4 lineární rovnice tentokrát je mocnina ve jmenovateli a nějak mi to zase nevychází když se jí snažím zbavit.

Pro ukázku uvedu jednu z nich a můj postup.

Zadání: $\frac{3x+7}{x-5}-\frac{5+x}{x}\cdot 3-\frac{25-3x}{x^{2}-5x}=0$

Krok 1: Vynásobím si druhý zlomek trojkou a celou rovnici pak vynásobím x-5, dostávám:

$3x+7+75-15x-\frac{25-3x}{x-x}=0$

Nejsem si ale moc jistý jestli sem tady provedl všechny úpravy správně.

Po vynásobení prvního zlomku x-5 zbyde jen čitatel.

Po vynásobení druhého se vykrátí x a zbylou -5kou násobím pak celý čitatel před kterým je mínus takže první číslo (75) vyjde kladné a 15x zase záporné.

V posledním zlomku se zkrátí ve jmenovateli x -5 a zbyde tam tak x - x.

Krok 2: Na levé straně si sečtu/odečtu xka a číslice, dostávám:

$-15x+57=0$

Krok 3: Všechny x si hodím nalevo a čísla napravo a následně vydělím. Vychází:

$x=3,8$

Ale má vyjít -5

Kde mám chybu? : )

misaH · 09. 11. 2014 14:06

↑ Elc:

Prepáč, ale "matematické" debaty s Tebou nemajú zmysel.

Pracuj podľa nejakej učebnice, toto je absolútna strata času, máš obrovské medzery.

Nerozumieš (napríklad), čo to znamená, že krátiť sa môže len vtedy, ak je v čitateli súčin. Opakuješ svoje chyby.

Na nete nájdeš aj riešené úlohy, uč sa na nich.

$\frac{3x+7}{x-5}-\frac{(15+3x)}{x}-\frac{25-3x}{x^{2}-5x}=0$

$x(3x+7)-(x-5)(15+3x)-(25-3x)=0$

$3x^2+7x-(15x-75+3x^2-15x)-(25-3x)=0$

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2014 15:42

Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#2 07. 11. 2014 18:01 — Editoval misaH (07. 11. 2014 18:10)

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#3 07. 11. 2014 19:34

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#4 07. 11. 2014 19:38 — Editoval raikou243 (07. 11. 2014 19:38)

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#5 07. 11. 2014 20:38

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#6 07. 11. 2014 22:49

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#7 08. 11. 2014 13:59 — Editoval Elc (08. 11. 2014 14:00)

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#8 08. 11. 2014 14:53 — Editoval raikou243 (08. 11. 2014 16:18)

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#9 08. 11. 2014 15:04

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#10 08. 11. 2014 16:18

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#11 08. 11. 2014 16:51

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#12 08. 11. 2014 18:20

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#13 08. 11. 2014 20:31

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#14 08. 11. 2014 20:34 — Editoval misaH (08. 11. 2014 20:36)

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#15 08. 11. 2014 20:42

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#16 08. 11. 2014 20:54 — Editoval misaH (08. 11. 2014 20:57)

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#17 08. 11. 2014 21:19 — Editoval misaH (08. 11. 2014 21:20)

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#18 08. 11. 2014 21:20

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#19 08. 11. 2014 21:23

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#20 08. 11. 2014 21:44 — Editoval Elc (08. 11. 2014 22:49)

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#21 09. 11. 2014 13:23 — Editoval Elc (09. 11. 2014 13:33)

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

#22 09. 11. 2014 14:06

Re: Úprava výrazu v lineární rovnici, proč platí?

Zápatí