Matematické Fórum

Boykins · 01. 03. 2009 17:43

Dobrý den,
nevím si rady s dvěmi příklady.

1.Určete aritmetickou posloupnost, ve které platí:
a1+a4+a6=71 a a5-a3-a2=2
Kolik čelnů posloupnosti dává součet 182?

2.Součet prvních osmi členů aritmetické posloupnosti celých čísel je 100; znásobíme-li sosmý člen součtem všech předcházejích členů, obdržíme číslo 1771. Určete tuto posloupnost.

Předem děkuji za pomoc

halogan · 01. 03. 2009 17:55

Tak ukaž jak jsi řešil.

1. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých.

2. To samé.

ttopi · 01. 03. 2009 18:19

1. Vajádři si všechny a_n pomocí a1+(n-1)d a dostáváš 2 rovnice o 2 neznámých.
Ten součet má svůj vzoreček, ve kterým se to n vyskytuje, z toho n vypočítáš (přes kvadratickou rovnici)

ttopi · 01. 03. 2009 18:27 — Editoval ttopi (01. 03. 2009 18:42)

2.řeším také přes rovnice ale jaksi mi nevycházejí celá čísla.

rovnice:
100=4(2a1+7d)
(a1+7d)(7a1+21d)=1771

Vyjádřil jsem si z první a1, dosadil ale pak to vede na kvadratickou rovnici u které mi nevychází diskriminant celé číslo :-(

EDIT: Jinak posloupnost jsem našel odhadem, ale z rovnic mi to nevyleze :-)

halogan

↑ ttopi:

Mně vyšel diskriminant 4 (při hledání diference)

Edit: ale kořeny pro diferenci mi vycházej necelý :)

Chrpa · 01. 03. 2009 18:50 — Editoval Chrpa (01. 03. 2009 18:56)

↑ ttopi:
U druhého příkladu mě d vychází d = 3
Z první rovnice:
$2a_1+7d=25$
Z druhé rovnice:
$(a_1+7d)(a_1+3d)=253$
Když za $a_1=\frac{25-7d}{2}$ dosadím do druhé rovnice vyjde mi po úpravách kvadratická rovnice:
$7d^2-150d+387=0\nld=3$

ttopi · 01. 03. 2009 18:51

Jisté je, že $a_1=2\nld=3$ .. ale...

Mě po vyjádření si $a_1=\frac{25-7d}{2}$ vychází pak strašně velká čísla, protože dole mám 7a1^2 a pak to hází čísla v desítkách tisíc :-)

Fakt netuším kde je chyba, ale rovnice jsou sestaveny dobře.

halogan · 01. 03. 2009 18:53

↑ ttopi:

Já jsem si vyjádřil 2a1, protože s tím pak tak počítám.

Dostal jsem se k $21d^2 - 100d + 119 = 0$

jelena · 01. 03. 2009 20:37

Zdravím vás :-)

pro 2. zadání zkuste tuto cestu:

$a_8\cdot S_7=a_8(S_8-a_8)=1771$

pak řeknete, kam jste došli, hodně zdaru :-)

Cheop · 02. 03. 2009 06:49 — Editoval Cheop (02. 03. 2009 07:12)

↑ Chrpa:
Řešením je :
$7d^2-150d+387=0\nld_1=3\nld_2=\frac{129}{7}$
pro $d=3$
$a_1=2\nla_8=23$

pro $d=\frac{129}{7}$
$a_1=-52\nla_8=77$

Zkouška:
Pro $a_1=2\nld=3$
$S_n=\frac 82(2+23)=100\nls_7\cdot a_8=\frac 72(2+20)\cdot 23=77\cdot 23=1771$

Pro $a_1=-52\nld=\frac{129}{7}$
$S_n=\frac 82(-52+77)=100\nls_7\cdot a_8=\frac 72(-52+\frac{410}{7})\cdot 77=\frac 72\cdot\frac{46}{7}\cdot 77=1771$

Zadání tedy vyhovují obě řady.