Matematické Fórum

TerezaG · 08. 11. 2014 22:33

Dobrý večer,
řeším příklad, kde mám určit obecné řešení Cauchyovy úlohy:

$\frac{dy}{dx}+3y=3\mathrm{e}^{x}$

Jedná se o lineární rovnici prvního řádu, která se řeší pomocí substituce.

Za prvé potřebuji zjistit oblast, kde je spojitá funkce a její parciální derivace, tak funkce i parciální derivace je podle mě spojitá na R.

Pak řeším: $y=u\cdot v$

$u'v+u(v'+3v)=3\mathrm{e}^{x}$ kde mi výjde první rovnice se separovanými proměnnými: $v'+3v=0$ ... $\int_{}^{}\frac{dv}{-3v}=\int_{}^{}dx$ tj. $ln|v|=3(x+C)$ , $v=+-\mathrm{e}^{3x}+3C$ a tady už se pomalu ztrácím, nevím, zda mám vybrat + nebo - pro to $v$ ? :(

Pro další rovnici se separ. prom. mi vychází: $\frac{du}{dx}\mathrm{e}^{3x}=3\mathrm{e}^{x}$ a s tím už si nevím rady...

Moc bych byla vděčná za radu, co dělám špatně, a jak postupovat dál.. děkuji :)

jelena · 09. 11. 2014 09:40

Zdravím,

přidej, ještě, prosím, materiál, ze kterého studuješ (úvod bych měla jinak - přes homogenní rovnici tedy odsud $y'+3y=0$ ). $\int_{}^{}\frac{dv}{-3v}=\int_{}^{}dx$ se vytratilo minus a opravit v dalších úpravách - má být $\ln |v|=-3(x+C)$ , potom
$v=\pm \mathrm{e}^{{-3x}+3C}=\pm \mathrm{e}^{{-3x}}\cdot \mathrm{e}^{3C}=K \mathrm{e}^{{-3x}}$ (tady na str. 17 najdeš vysvětlení ohledně odstranění absolutní hodnoty v řešení, diskutovali jsme to i na fóru, zkusím pohledat).

Potom $v=K(x) \mathrm{e}^{{-3x}}$ , tento předpis zderivuješ (za předpokladu, že K(x) je funkce x) a můžeš pokračovat dál, ozvi se po opravách, děkuji.

TerezaG · 09. 11. 2014 14:16

↑ jelena:
Mínusu jsem si už všimla, jinak řeším "podle" skripta "Řešené příklady z Matematiky III." ...fakulta strojní.
Máme toto právě řešit pomocí substituce, ještě jsme homogenní rovnice nedělali, ale postup bych chápala, jen to bude až další kapitola :/

http://ulozto.sk/xG8vnyJ/resene-priklad … cipera-pdf (strana 10)

Po úpravě mi tedy vychází:
$\int_{}^{}du=\int_{}^{}\frac{3\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{3x}}dx$ což se mi moc nezdá :(

Děkuji.

jelena · 09. 11. 2014 15:00

↑ TerezaG:

děkuji, materiál nestáhnu (když tak až večer). Ale předpokládám, že máš na mysli tuto metodu

a jsme u kroku $u'v+0=3\mathrm{e}^{x}$ , dosazujeme z $v=K(x) \mathrm{e}^{{-3x}}$ a máme $\frac{du}{dx}\mathrm{e}^{3x}=3\mathrm{e}^{x}$
$\d u=3\mathrm{e}^{x-3x}\d x$

To už zvládneš doupravovat a dořešit , tak?

TerezaG · 09. 11. 2014 16:39

↑ jelena:
Tak $u=-\frac{3}{2}\mathrm{e}^{-2x}+C$
Pak $y=(-\frac{3}{2}\mathrm{e}^{-2x}+C)\cdot \mathrm{e}^{-3x}$ a to bude obecné řešení, pokud bych měla najít maximální řešení, dosadím do tohoto výrazu počáteční podmínky, vyjde mi nějaká hodnota pro C a to bude maximální řešení.

Jak potom najdu interval tohoto max. řešení?
Stejně jako bych hledala definiční obor?

Mám asi problém i s hledáním spojitosti, naznačila jsem to v prvním příspěvku, že si myslím, že funkce i parciální derivace jsou spojité na R, ale jistá si nejsem, jak na to přijít?

Děkuji

jelena · 09. 11. 2014 18:08

↑ TerezaG:

ještě se omlouvám, jak jsem opisovala z $v=K(x) \mathrm{e}^{{-3x}}$ do "a máme $\frac{du}{dx}\mathrm{e}^{3x}=3\mathrm{e}^{x}$ ", tak jsem také ztratila "minus". Má být $\frac{du}{dx}\mathrm{e}^{-3x}=3\mathrm{e}^{x}$ , oprav ještě prosím.

Po opravě by mělo být v pořádku. Ohledně spojitosti - ze samotného zadání žádná zrada neplyne, potom ale máme $\int_{}^{}\frac{dv}{-3v}=\int_{}^{}dx$ (v jmenovateli, tedy v nemůže být 0 pro použití postupu), pokud bys používala homogenní řešení, tak rovnou y nemůže být 0 pro použití postupu. Tedy $y=0$ ještě prošetřit jako samostatné možné řešení (to by mohlo být podezřelé, že singulární) přímo dosazením do zadání $\frac{dy}{dx}+3y=3\mathrm{e}^{x}$ (neplatí).

a to bude obecné řešení, pokud bych měla najít maximální řešení, dosadím do tohoto výrazu počáteční podmínky, vyjde mi nějaká hodnota pro C a to bude maximální řešení.

to bys našla partikulární řešení. Ohledně maximálního - viz např. zde nebo v tom, co jsem odkazovala (ještě se nedostanu k Tvému materiálu).

TerezaG · 09. 11. 2014 23:13

↑ jelena:
Moc jsem ty oblasti nepochopila :(

jelena · 10. 11. 2014 12:14

↑ TerezaG:

oblastí řešení? Ohledně obecného řešení a partikulárního (dle zadaných podmínek) asi problém není. "Nejhorší" je si představit maximální, bohužel pořád jsem se k vašemu materiálu nedostala, zkus, prosím, najít některý pro Tebe dost přehledný a aby nebyl ke stažení, ale přímo k náhledu (ne uložiště) a kde bude rozebrán příklad (tak ještě prodiskutujeme, co se neozřejmí).

Možná ještě pomůže i toto téma (viz příspěvky 8, 11). Nebo ještě upřesňuj, co je potíž. Děkuji.

TerezaG · 10. 11. 2014 18:56

↑ jelena:
Už to asi chápu, hledám na začátku spojitost funkce a její parciální derivace, spojitost funkce se rovní definičnímu oboru funkce, takže zjistím, jaký definiční obor funkce a derivace mají, vyjde mi nějaká oblast a pak dál pracuji jen s tou částí oblasti, kam patří má počáteční podmínka, na konci řešení, kde hledám interval maximálního řešení, tak hledám zase definiční obor té funkce, která mi vyjde jako maximální řešení, už to nebude oblast, ale pouze interval pro x... je tak ? :)

Děkuji :)

jelena · 10. 11. 2014 20:47

↑ TerezaG: takéděkuji.

Teoretik jsem bídný - když budu řešit, tak si všímám všech "podezřelých momentů" - nespojitost v zadání (příklad $y^{\prime}=\frac{y}{x-1}$ ), podezřelá (neekvivalentní) úprava při řešení (opět stejný příklad) a zápis výsledku (obecné řešení - podmínka, že musí být spojitě derivovatelné). To je tak, jak jsi popsala.

Maximální řešení - jak píše vážená autorita v příspěvku 8

kaja.marik napsal(a):
pokud se ucite jenom klasicky resti diferencialni rovnice, tak se tim pojmem maximalni reseni myslim moc zabyvat nemusite.

TerezaG napsal(a):
na konci řešení, kde hledám interval maximálního řešení, tak hledám zase definiční obor té funkce, která mi vyjde jako maximální řešení, už to nebude oblast, ale pouze interval pro x... je tak ? :)

:-) abych se nezamotala - maximální řešení je zápis řešení (po použití počáteční podmínky) např. ve tvaru y=f(x) a jelikož je to funkce, tak k ni opět máme definiční obor (nezapomenout zahrnout omezení, co jsme měli v předchozích krocích) a tento interval budu považovat za interval maximálního řešení. Tedy zde pojmy "maximální řešení" - předpis a "interval maximálního řešení" - kde ten předpis platí.

TerezaG · 10. 11. 2014 21:01

↑ jelena:
Tak už chápu :)
Moc děkuji :) ...pomohlo mi to :))

jelena · 10. 11. 2014 21:10

↑ TerezaG:

také děkuji.

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2014 22:33

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

#2 09. 11. 2014 09:40

Re: Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

#3 09. 11. 2014 14:16

Re: Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

#4 09. 11. 2014 15:00

Re: Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

#5 09. 11. 2014 16:39

Re: Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

#6 09. 11. 2014 18:08

Re: Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

#7 09. 11. 2014 23:13

Re: Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

#8 10. 11. 2014 12:14

Re: Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

#9 10. 11. 2014 18:56

Re: Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

#10 10. 11. 2014 20:47

Re: Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

kaja.marik napsal(a):

TerezaG napsal(a):

#11 10. 11. 2014 21:01

Re: Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

#12 10. 11. 2014 21:10

Re: Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

Zápatí