Matematické Fórum

Callme · 08. 11. 2014 23:22 — Editoval Callme (09. 11. 2014 01:39)

Cavte ako vyriesim tieto limity
1. $\lim_{x\to0}\frac{|sin9x|}{arcsin 3x}$
2. $\lim_{x\to-\infty }\frac{arcsin\frac{2}{x}}{|arcsin\frac{8}{x}|}$
Aky je rozdiel pri pocitani ked limita ide do $\infty$ , $-\infty$ ?

1. $\lim_{x\to0}\frac{|sin9x|*\frac{1}{x}}{arcsin 3x*\frac{1}{x}}=\frac{9}{3}=3$ ?
2. $\lim_{x\to-\infty }\frac{arcsin\frac{2}{x}*\frac{1}{x}}{|arcsin\frac{8}{x}|*\frac{1}{x}}=\frac{2}{|8|}=-\frac{1}{4}$ ?

jelena · 09. 11. 2014 09:51

Zdravím,

v případě limity x k 0 bych ještě podrobněji podívala na oboustranné limity (zda absolutní hodnota bude mít vliv). V případě x k $\infty$ nebo $-\infty$ , uvažuji, že $\frac{1}{x}$ jde k 0, tedy je to výchozí krok k použití úprav na tabulkové limity, ale opět bych se zaměřila na chování s ohledem na absolutní hodnotu.

Možná také pomůže uvažovat substituci $t=\frac{1}{x}$ (a vybavit si tuto funkci pro $\infty$ a $-\infty$ , odkud přichází k ose x). Provedl jsi takové úvahy před zapsáním výsledku, např. jak vzniklo toto (co určitě neplatí)

$\frac{2}{|8|}=-\frac{1}{4}$

? Děkuji.

Callme · 09. 11. 2014 12:24 — Editoval Callme (09. 11. 2014 12:24)

1. $\lim_{x\to0^+}\frac{|sin9x|*\frac{1}{x}}{arcsin 3x*\frac{1}{x}}=\frac{9}{3}=3$
$\lim_{x\to0^-}\frac{-|sin9x|*\frac{1}{x}}{arcsin 3x*\frac{1}{x}}=\frac{-9}{3}=-3$ ?

2. $\lim_{x\to-\infty }\frac{arcsin\frac{2}{x}*\frac{1}{x}}{|arcsin\frac{8}{x}|*\frac{1}{x}}=\frac{2}{|8|}=\frac{1}{4}$ ?

jelena · 09. 11. 2014 13:56

↑ Callme:

děkuji. Škoda, že k tomu nepřidáváš slovní komentář. 1. část - skoro ano, předpokládám, že odstraňuješ absolutní hodnotu tak:
$\lim_{x\to0^+}\frac{(\sin 9x)\cdot\frac{1}{9x}}{\mathrm {arcsin} 3x\cdot\frac{1}{9x}}=\frac{3}{1}=3$
$\lim_{x\to0^-}\frac{-(\sin 9x)\cdot\frac{1}{9x}}{\mathrm {arcsin} 3x\cdot\frac{1}{9x}}=\frac{-3}{1}=-3$

Z toho uděláme závěr ohledně oboustranné limity (tedy zadané limity x k 0) - jak to dopadlo?

$\lim_{x\to-\infty }\frac{arcsin\frac{2}{x}*\frac{1}{x}}{|arcsin\frac{8}{x}|*\frac{1}{x}}=\frac{2}{|8|}=\frac{1}{4}$

jak budeš odstraňovat absolutní hodnotu pro x k -oo? Děkuji.

Callme · 09. 11. 2014 18:05

↑ jelena:
1. limita neexistuje
2. pre $-\infty$ neviem ako na to

jelena · 09. 11. 2014 18:21

↑ Callme:

ano, 1) souhlasím.

2) zkus pomalu: 8/x pro x k (-oo) se blíží k 0 z jakých hodnot - z kladných nebo ze záporných, potom arcsin(8/x) se blíží k 0 z jakých hodnot - z kladných nebo ze záporných? Viz graf funkce arcsin.

Pokud se blíží z kladných, tak absolutní hodnotu odstraníme s plusem, pokud ze záporných - s minusem. Tak jak to vidíš? Děkuji.

Jj · 09. 11. 2014 18:22

↑ Callme:

Dobrý den.

Řekl bych, že pro x < 0 bude čitatel celkově kladný (vynásobením dvou záporných čísel dostaneme kladné číslo), a jmenovatel záporný (vynásobení absolutní hodnoty záporného čísla (= kladné) záporným číslem --> záporné číslo). Takže limita bude mít znaménko minus
a výsledek bude $-\frac{1}{4}$ .

Callme · 10. 11. 2014 00:05

Kedze x ide do $-\infty$ tak sa to priblizuje k 0 zo zapornych hodnot?
$\lim_{x\to-\infty }\frac{arcsin\frac{2}{x}*\frac{1}{x}}{-(arcsin\frac{8}{x})*\frac{1}{x}}=\frac{2}{-8}=-\frac{1}{4}$ ?

jelena · 10. 11. 2014 12:16

↑ Callme:

ano, také mi tak vyšlo. Viz také příspěvek kolegy ↑ Jj:, děkuji.

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2014 23:22 — Editoval Callme (09. 11. 2014 01:39)

Limity

#2 09. 11. 2014 09:51

Re: Limity

#3 09. 11. 2014 12:24 — Editoval Callme (09. 11. 2014 12:24)

Re: Limity

#4 09. 11. 2014 13:56

Re: Limity

#5 09. 11. 2014 18:05

Re: Limity

#6 09. 11. 2014 18:21

Re: Limity

#7 09. 11. 2014 18:22

Re: Limity

#8 10. 11. 2014 00:05

Re: Limity

#9 10. 11. 2014 12:16

Re: Limity

Zápatí