Matematické Fórum

aferon · 08. 11. 2014 16:06

Zdravím, chtěl bych se zeptat, jak by se řešila tato rovnice. Vůbec nevím jak začít. Jen vím, že řešit se má přeš definiční obory. Děkuji za pomoc.

$3cosh2x+2e^{|x|}=5$

vanok · 08. 11. 2014 18:24

Ahoj ↑ aferon:
Napis cosh pomocou $e^x$ a $e^{-x}$

aferon · 08. 11. 2014 18:42

↑ vanok:
Teď nevím, jak to myslíte?

vanok · 08. 11. 2014 18:45

Ako je definovany cosh x ?

aferon · 08. 11. 2014 19:01

↑ vanok:
D=R a H od 1 do plus nekonečna

Neth · 08. 11. 2014 19:04

Spíš jestli neexistuje náhodou nějaké jiné vyjádření hyperbolického kosinu... Hm? :)

misaH · 08. 11. 2014 19:04 — Editoval misaH (08. 11. 2014 19:05)

↑ aferon:

Vanok chce od Teba definíciu.

http://sk.wikipedia.org/wiki/Hyperbolick%C3%A1_funkcia

aferon · 08. 11. 2014 19:21 — Editoval aferon (08. 11. 2014 19:23)

↑ misaH:

aha, takže toto se myslí? To mě nenapadlo, řešili jsme ve škole jen jeden příklad a řešili jsme ho pomocí definičního oboru a oboru hodnot pro každou funkci zvlášť.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-11/70882_Schr%25C3%25A1nka02.jpg

aferon · 09. 11. 2014 11:16

↑ aferon:
Teď bych řekl, že je teda obor hodnost cosh je od 1 do nekonečna a obor hodnost ex.fce je od 1do nekonečna, tudíž bod 5 je řešením ?

Neth · 09. 11. 2014 12:44

Ty sis ten vzoreček nepřepsal s $\mathrm{e}^{x}$ , že?

aferon · 09. 11. 2014 12:54

↑ Neth:

mam to za ten cosh x dosadit? nebo to e^x mam z toho vyjádřit a dosadit?

Neth · 09. 11. 2014 12:54

↑ aferon:

Dosaď za cosh :)

aferon · 09. 11. 2014 12:59

takto?
$3*2(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}) +2e^{|x|}=5$

jelena · 09. 11. 2014 14:02

Zdravím,

jen drobnost - není nutné kolegu tlačit hned k použití vzorce. zde je na dobré cestě, jen dojit:

Teď bych řekl, že je teda obor hodnost cosh je od 1 do nekonečna a obor hodnost ex.fce je od 1do nekonečna, tudíž bod 5 je řešením ?

Máme součet funkcí $3f(x)+2h(x)=5$ a víme, jaké minimální hodnoty mohou mít uvedené funkce, hledáme, pro které x to nastává (můžeme si pomáhat i grafickou metodou řešení rovnic). To "vytučnění" ještě není dobře.

Ke vzorci - pozor, že argumentem cosh je (2x), oprav prosím (pokud není rovnou vidět, tak pomůže substituce $2x=t$ ).

$3*2(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}) +2e^{|x|}=5$

Děkuji.

aferon · 09. 11. 2014 14:11

↑ jelena:
jen takhle?
$3*(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}) +2e^{|x|}=5$

2x=t

jelena · 09. 11. 2014 14:15

↑ aferon:

$\mathrm{cosh}(t)=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}$ teď substituci zpět. Ale neztrácej naději dojit přes obory hodnot :-)

aferon · 09. 11. 2014 14:20 — Editoval aferon (09. 11. 2014 14:20)

↑ jelena:
takhle?

$cosh(t)=\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}$

Můžu se zeptat tedy k těm oborům hodnot? Stačí si nakreslit grafy funkce y= 3cosh(2x) a $y=2e^{|x|}$ a zjistit společný interval oborů hodnot? a podívat se, jestli i číslo 5 náleží tomu oboru hodnot? Děkuji.

jelena · 09. 11. 2014 14:32

↑ aferon:

děkuji, vzorec již dobře.

Stačí si nakreslit grafy funkce y= 3cosh(2x) a $y=2e^{|x|}$ a zjistit společný interval oborů hodnot?

Spíš si zakreslit grafy, jak jsi napsal, potom naznačit graf výsledného součtu (stačí, když si představíš, že hodnoty y pro stejné x stoji těsně vedle sebe jako 2 tyčky - pro každou funkci, v součtu tyčky postavíš na sebe). Méně polopaticky - určuješ obor hodnot až součtové funkce (což je nějaký interval). 5 napravo bude znázorněna při grafickém řešení jako přímka. Tedy můžeš odvodit, jak protne výsledný obor hodnot nalevo. Pokud prokážeš, že má jen jeden společný bod, potom zde hledáš řešení rovnice (obrázky zkus ve WA).

aferon · 09. 11. 2014 14:50

↑ jelena:
Takhle jsou to jednotlivé grafy:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-11/40949_Schr%25C3%25A1nka02.jpg

a takhle to WA spojil dohromady:

ale stále nevím, jak bez pomocí programu ten graf určit ručně a dále nevím, co ten výsledný graf vlastně říká, Děkuji.

jelena · 09. 11. 2014 15:09

↑ aferon:

výsledný graf je funkce nalevo v rovnici, napravo v rovnici je přímka y=5, technikou řešení je průsečík grafů (viz grafická metoda řešení rovnic). A tomu odpovídající hodnota na ose x (to je kořen rovnice).

Zakreslení součtového grafu - určitě umíš zakreslit graf y=f(x) a jeho různé transformace (viz transformace grafu), další práce - když máme 2 grafy, jejich součet zakreslíme pomocí postupného přenášení hodnoty pro jeden graf nad hodnotu pro 2. graf (například si to odzkoušej na y=x, y=2x+1 a y=(x)+(2x+1)). Stejně postupuješ i tady (zkus 3 grafy dat na jeden obrázek). Pokud bude fungovat - odkaz.

Prakticky bys měl umět odvodit obor hodnot i bez kreslení (a minimální hodnotu součtové funkce).

aferon · 09. 11. 2014 16:06

Tak nakreslil jsem si tu sčítanou funkci a ověřil jsem si to v programu, jak jste doporučila a už to chápu. Teď teda ale nevím, jak přijít na řešení. Mám udělat funkci y = 5 a sledovat, jestli mi protne to sčítanou funkci? Oborem hodnet je tedy <5;nekonečna)? podle grafu? a ten obor hodnot se dá vyčíst jen z grafu? nebo se dá i nějak vypočíst? Děkuji.

aferon · 09. 11. 2014 17:41

↑ aferon:
Teď jak se koukám i na jiný funkce, tak mi došlo, že vlastně obor hodnot nám ovlivňuje to, co zvyšuje nebo snižuje funkční hodnoty na ose y a to je vždy číslo, které násobí tu funkci a dále může dojít ještě k posunu po ose y, tak se ten obor hodnot taky upraví. Pak jak jste říkala sčítání těch grafů, tak to už si vlastně lze i představit.

Ale kdybych měl funkci třeba y=3(1+x)^(1/2) +5arcsin(2+x) tak tam už to půjde těžko sčítat a nakreslit sčítaný graf, zvlášť bez použití kalkulačky. Tak by to šlo nějak takhle?

obor hodnot arcsinx je $<-\frac{\Pi }{2};\frac{\prod_{}^{}}{2}>$
obor hodnot 5arcsin(2+x) je $<-\frac{\Pi*5 }{2};\frac{5*\prod_{}}{2}>$

obor hodnot y=3(1+x)^(1/2) je od <0;nekonečna>

takže výsledný obor hodnost funkce y=3(1+x)^(1/2) +5arcsin(2+x) je $<-\frac{\Pi*5 }{2};+\infty >$ ?

jelena · 09. 11. 2014 17:55

↑ aferon:

vybav si ze SŠ grafické řešení rovnic (a nerovnic). Jak na řešení - reagovala jsem na to, že ve škole jste dělali obdobný postup pomocí oboru hodnot. Tak to mělo být podobné, za předpokladu, že si obor hodnot bez větších zádrhelů představíš.

Konkrétně v této úloze máme 2 funkce, co (z definice) jsou definovány na celém R, mají minimum a to dokonce pro stejné x=0. Tedy i součtová funkce bude definována na celém R a bude mít minimum pro stejné x=0. Obor hodnot vznikne tak, že minimální bod se posune výš po ose y, jinak do +oo to zůstává stejně.

Pro toto minimum můžeme přesně spočítat f(0)=5. A shodou okolnosti se nás ptají, pro které x platí, že $3\mathrm{cosh}2x+2e^{|x|}=5$ , tak jsme to všechno využili. Předchozí úvahy bychom mohli použit pro řešení $3\mathrm{cosh}2x+2e^{|x|}=4$ nebo pro stanovení počtu řešení $3\mathrm{cosh}2x+2e^{|x|}=6$ . Také pro řešení nerovnice můžeme použit.

Tato metoda není univerzální, hodí se pro "pěkné zadání", kdy z vlastností funkcí je řešení "vidět".

Z náhledu:

3(1+x)^(1/2) +5arcsin(2+x)

tam pozor - zvolil jsi funkci, kde jsou zrádné def. obory pro jednotlivé sčítané, tedy i pro celou funkci (na druhou stranu to může být výhoda, pokud nic nezanedbáš při rozboru).

Principu metody rozumíš. Pokud takto (bez využití derivací) prozkoumáš více funkcí a jejích grafů, může to být užitečný základ pro další výpočty (zejména pro rychlé odhady). Navíc i Tobě bude jasné, že stavíš na pochopených teoretických základech (ne, že bych měla něco proti vzorci, co se navrhoval, ale věřím, že i kolega vanok potvrdí, že i takové zkoumání funkcí může být k užitku).

aferon · 10. 11. 2014 18:31

↑ jelena:
Děkuji za vysvětlení.

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2014 16:06

nelineární rovnice

#2 08. 11. 2014 18:24

Re: nelineární rovnice

#3 08. 11. 2014 18:42

Re: nelineární rovnice

#4 08. 11. 2014 18:45

Re: nelineární rovnice

#5 08. 11. 2014 19:01

Re: nelineární rovnice

#6 08. 11. 2014 19:04

Re: nelineární rovnice

#7 08. 11. 2014 19:04 — Editoval misaH (08. 11. 2014 19:05)

Re: nelineární rovnice

#8 08. 11. 2014 19:21 — Editoval aferon (08. 11. 2014 19:23)

Re: nelineární rovnice

#9 09. 11. 2014 11:16

Re: nelineární rovnice

#10 09. 11. 2014 12:44

Re: nelineární rovnice

#11 09. 11. 2014 12:54

Re: nelineární rovnice

#12 09. 11. 2014 12:54

Re: nelineární rovnice

#13 09. 11. 2014 12:59

Re: nelineární rovnice

#14 09. 11. 2014 14:02

Re: nelineární rovnice

#15 09. 11. 2014 14:11

Re: nelineární rovnice

#16 09. 11. 2014 14:15

Re: nelineární rovnice

#17 09. 11. 2014 14:20 — Editoval aferon (09. 11. 2014 14:20)

Re: nelineární rovnice

#18 09. 11. 2014 14:32

Re: nelineární rovnice

#19 09. 11. 2014 14:50

Re: nelineární rovnice

#20 09. 11. 2014 15:09

Re: nelineární rovnice

#21 09. 11. 2014 16:06

Re: nelineární rovnice

#22 09. 11. 2014 17:41

Re: nelineární rovnice

#23 09. 11. 2014 17:55

Re: nelineární rovnice

#24 10. 11. 2014 18:31

Re: nelineární rovnice

Zápatí