Matematické Fórum

Denco · 10. 11. 2014 15:23 — Editoval Denco (10. 11. 2014 15:24)

Zdravím páni,
mám takúto maticu
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-11/24974_matica.png
A mal by som z nej dostať vlastné hodnoty. Tak som si vypočítal determinant (Sarrusovo pravidlo, nulové prvky som vynechal):
$(0-\lambda)(1-\lambda)(0-\lambda)-2(0-\lambda)-4(0-\lambda)$
Z čoho mi vyšlo
$-\mathrm{\lambda}^{3}+\mathrm{\lambda }^{2}+6\lambda$
Potom
$\lambda(-\mathrm{\lambda }^{2}+\lambda+6)=0$
Z kvadratickej rovnice vo vnútri zátvorky mi vyšli 2 korene: -2, 3 =>
=> $\lambda(\lambda -2)(\lambda +3)=0$
A vlastné hodnoty mi teda vyšli: 0, 2, -3, z rovníc
$\lambda =0$
$\lambda-2 =0$
$\lambda+3 =0$
No podľa nástroja na WIMS vyšli hodnoty 0, -2, 3 (ako tak pozerám, na wolphrame tiež)
Vďaka svojím matematickým (ne)zručnostiam tam asi niečo prehliadam, len neviem čo.

Ďakujem za radu

Jj · 10. 11. 2014 16:17

↑ Denco:

Dobrý den.

Řekl bych, že

$(\lambda^2-\lambda-6)=0\Rightarrow (\lambda +2)(\lambda -3)=0$ ,

takže vlastní hodnoty jsou 0,-2,3.

Denco · 10. 11. 2014 16:22

Čiže sú zlé korene alebo som to iba zle zapísal?

Jj · 10. 11. 2014 16:23 — Editoval Jj (10. 11. 2014 16:25)

↑ Denco:

Edit - oprava.

Ne, kořeny jste spočítal dobře, takže chyba v záznam součinu kořenových činitelů.

Denco · 10. 11. 2014 17:31 — Editoval Denco (10. 11. 2014 17:33)

A dalo by sa poradiť aj s vlastnými vektormi? Dosadím tie lambdy do tých diagonálnych hodnôt $0-\lambda ,1-\lambda ,0-\lambda$
Takže mi vzniknú tri matice
0 1 2
2 1 2
0 2 0

2 1 2
2 3 2
0 2 2

-3 1 2
2 -2 2
0 2 -3

Ale popravde, netuším čo s tým. Na hodine sme spravili jeden príklad a z toho to akosi neviem dostať. Keby sa možno dalo ukázať aj na nejakej inej matici.

Jj · 10. 11. 2014 21:52

↑ Denco:

$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

$a) \lambda = 0$
$(A-\lambda E)\cdot \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}=0\Rightarrow u_1 = t, u_2=0, u_3=-t$

např: t = 1 --> u(1,0,-1)

$b) \lambda = -2$
$(A-\lambda E)\cdot \vec{u}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}=0\Rightarrow u_1 = t, u_2=-2t, u_3=2t$

např: t = 1 --> u(1,-2,2)

$c) \lambda = 3$
$(A-\lambda E)\cdot \vec{u}=\begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}=0\Rightarrow u_1 = t, u_2= 3t, u_3=2t$

např: t = 1 --> u(1,3,2)

Poznámka: Příkladů najdete dostatek na internetu.

Denco · 11. 11. 2014 10:27

Ďakujem pekne.
Chápem teda správne, že vo všetkých troch prípadoch išlo o sústavu (maticu) lineárnych rovníc, ktoré majú nekonečne veľa riešení a preto sú jednotlivé vlastné vektory tvorené pomocou parametra?

Jj · 11. 11. 2014 10:54

↑ Denco:

V podstatě ano - nekonečně mnoho řešení. Pokud vím, tak vlastní vektory se neudávají jako parametrické, ale s číselnými složkami (možné hodnoty jsem uváděl jako příklad). Takže si můžete třeba jednu složku zvolit - druhé dvě dopočítat.

Matematické Fórum

#1 10. 11. 2014 15:23 — Editoval Denco (10. 11. 2014 15:24)

Vlastné hodnoty matice

#2 10. 11. 2014 16:17

Re: Vlastné hodnoty matice

#3 10. 11. 2014 16:22

Re: Vlastné hodnoty matice

#4 10. 11. 2014 16:23 — Editoval Jj (10. 11. 2014 16:25)

Re: Vlastné hodnoty matice

#5 10. 11. 2014 17:31 — Editoval Denco (10. 11. 2014 17:33)

Re: Vlastné hodnoty matice

#6 10. 11. 2014 21:52

Re: Vlastné hodnoty matice

#7 11. 11. 2014 10:27

Re: Vlastné hodnoty matice

#8 11. 11. 2014 10:54

Re: Vlastné hodnoty matice

Zápatí