Matematické Fórum

joejoe · 11. 11. 2014 12:59 — Editoval joejoe (11. 11. 2014 14:46)

Dobry den, chcem si len overit riesenie limity, niesom si isty. dakujem
$\lim_{x\to0} (cos 2x)^{\frac{4}{x}}$
$p=\frac{4}{x} ; x=\frac{4}{p}$
$\lim_{x\to0} (cos \frac{8}{p})^{p}$ teraz si myslim, ze robim chybu pretoze tam mam 8/p a nemozem usudit ze limita je rovna 1 len preto, ze vsetko umocnene na 0 je 1, alebo mozem?

edit -------

takze zacal som to robit inak , limitu som upravil na tvar

$1-sin^2x$
$1-\frac{1}{\frac{1}{sin^2x}}$
umocnil atd aby mi vysla e^-1 ptm sa dopracujem k exponentnu
$\frac{8sin^2x}{x} = 8sin^2x (x^{-1}) = 0$ -- je toto spravne???
teda e^0 = 1

Sherlock

Zdravím, a podle čeho jsi to upravil? $\cos 2x$ není $\cos ^{2}x$

A nemůžeš to "jen tak" umocnit.. Lze to ale třeba takto $x^{a}=e^{a\cdot \ln x}$

joejoe · 11. 11. 2014 17:35 — Editoval joejoe (11. 11. 2014 17:48)

$cos 2x=cos^2 x-sin^2x$
$cos^2x=1-sin^2x$
$cos2x=1-sin^2x - sin^2x = 1-2sin^2x$
$1-2sin^2x=1+\frac{-1}{\frac{1}{2sin^2x}}$
----

$\lim_{x\to0}(1+\frac{-1}{\frac{1}{2sin^2x}})^\frac{4}{x}$
$\lim_{x\to0}[(1+\frac{-1}{\frac{1}{2sin^2x}})^{\frac{1}{2sin^2x}} ]^{\frac{8sin^2x}{x}}$
limita vnutorneho je e^-1

$\lim_{x\to0}\frac{8sin^2x}{x} =\lim_{x\to0}{8sin^2(x)}{x^{-1}} =0$

(e^-1)^0 = 1 ....

ale neviem ci mozem hned z tvrdit ze limita $\lim_{x\to0}{8sin^2(x)}{x^{-1}}$ je 0 kedze tam mam 1/0

Jj · 11. 11. 2014 18:50

↑ joejoe:

Dobrý večer. Řekl bych, že

$\lim_{x\to0}8\cdot \frac{\sin^2x}{ x}=8\cdot \lim_{x\to0}\frac{\sin^2x}{ x}=8\cdot \lim_{x\to0}x\cdot\frac{\sin^2x}{ x^2}=8\cdot \lim_{x\to0}x\cdot 1=0$

RadekHampl · 11. 11. 2014 21:36

$\lim_{x\to0} (cos 2x)^{\frac{4}{x}}=1$ . Mám za to, že skutečně jednodušší cesta (viz sherlock) vede přes logaritmické limitování a vztah $x=e^{ln(x)}$

Zkuste to takto, pokud to nepůjde, dodám další postup, ale dostaneš neurčitý výraz $\infty .0$ a to už jde dobře pořešit...

joejoe · 11. 11. 2014 23:44

$\lim_{x\to0}8\cdot \frac{\sin^2x}{ x}=8\cdot \lim_{x\to0}\frac{\sin^2x}{ x}=8\cdot \lim_{x\to0}x\cdot\frac{\sin^2x}{ x^2}=8\cdot \lim_{x\to0}x\cdot 1=0$

nejako nerozumiem kroku kde je zrazu v menovateli x^2

Xellos · 12. 11. 2014 01:44

Vyuzijem priblizne vzorce (rozpisanie do najblizsieho Taylora) na

$(\cos{2x})^{\frac{4}{x}}\approx \left(1-2x^2\right)^\frac{4}{x}=e^{\frac{4}{x}\ln{\left(1-2x^2\right)}} \approx e^{\frac{4}{x}(-2x^2)}=e^{-8x} \rightarrow e^0=1$

Formalny dokaz napr. cez $\cos{2x}=1-2\sin^2{x} \ge 1-2x^2$ .

Jj · 12. 11. 2014 09:09

↑ joejoe:

Ano - před zlomkem x + jmenovatel vynásoben x, tzn. celkově se 'nic nestalo' (jak by byl zlomek rozšířen 'x').

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2014 12:59 — Editoval joejoe (11. 11. 2014 14:46)

Limita.

#2 11. 11. 2014 14:50 — Editoval Sherlock (11. 11. 2014 14:51)

Re: Limita.

#3 11. 11. 2014 17:35 — Editoval joejoe (11. 11. 2014 17:48)

Re: Limita.

#4 11. 11. 2014 18:50

Re: Limita.

#5 11. 11. 2014 21:36

Re: Limita.

#6 11. 11. 2014 23:44

Re: Limita.

#7 12. 11. 2014 01:44

Re: Limita.

#8 12. 11. 2014 09:09

Re: Limita.

Zápatí