Matematické Fórum

Neth · 08. 11. 2014 16:12 — Editoval Neth (08. 11. 2014 18:37)

Zdravím všechny, píšu sem kvůli následujícímu.

Mám problém si představit některé derivace maticových výrazů a to bohužel naprosto intuitivně jasných. Když si třeba vezmu zobrazení $f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ , $f(\textbf{x}) = \textbf{Ax + b}$ , kde $\textbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}$ a $\textbf{b} \in \mathbb{R}^{m}$ . Intuitivně mi přijde jasný, že derivace bude $\textbf{A}$ , ale pokud si to rozepíšu po složkách, už mi to vůbec není tak jasné a přijde mi, že se musí vynulovat všechny prvky matice kromě diagonály...

Chápu, že je tohle asi hodně hloupý dotaz, ale byl by někdo, prosím, tak hodný a poradil mi? Děkuju.

EDIT:

Na toto jsem už přišla, zasekla jsem se však na další související věci: Pokud mám zobrazení $f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ a $g: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^m$ , kde $f(\textbf{x}) = g(\textbf{x})^{T}g(\textbf{x})$ , jaký je nejlepší způsob jak dokázat, že derivace f je $f'(\textbf{x}) = 2g(\textbf{x})^{T}g' (\textbf{x})$ ? Předem moc děkuju za odpověď.

jelena · 10. 11. 2014 12:33

Zdravím,

další související věci: $f'(\textbf{x}) = 2g(\textbf{x})^{T}g' (\textbf{x})$

nepomůže tomu, dívat se na výchozí krok jako na derivaci součinu $f(\textbf{x}) = g(\textbf{x})^{T}g(\textbf{x})$ ? Děkuji (a přesunu dle pokynu).

Neth · 10. 11. 2014 14:44

↑ jelena:

Ahoj, to se obávám, že nepomůže: to bych získala $f'(\textbf{x}) = g'(\textbf{x})^Tg(\textbf{x}) + g(\textbf{x})^Tg'(\textbf{x})$ a jsem prakticky tam, kde jsem byla. Myslím, že by se mělo vycházet z $[\textbf{x}^T\textbf{x}]'= 2\textbf{x}^T$ a z derivace složené funkce, ale nemůžu přijít na to, jak to na to "naroubovat".

jelena · 10. 11. 2014 21:03

↑ Neth:

já jsem to zkoušela rozepsat jako řádek g_1(x), g_2(x)...g_n(x) a k tomu sloupec (podobně), jelikož po vynásobení jsou členy (g_1(x))^2 ..., tak derivace (s ohledem, že funkce g(x) je složená) vychází, jak požaduješ, ale tak to asi nechceš odvozovat.

$[\textbf{x}^T\textbf{x}]'= 2\textbf{x}^T$

To jsi odvozovala jak? Děkuji.

Stýv · 10. 11. 2014 21:16

↑ Neth: není náhodou $g'(\textbf{x})^Tg(\textbf{x})$ a $g(\textbf{x})^Tg'(\textbf{x})$ totéž?

Neth · 10. 11. 2014 23:28

↑ Stýv:

Ha, pardon, to mi nedošlo! Děkuju mnohokrát!

Neth · 10. 11. 2014 23:40 — Editoval Neth (12. 11. 2014 13:20)

↑ jelena:

Odvozovala jsem to úplně stejným způsobem jako píšeš:

$f(\textbf{x}) =\textbf{x}^T\textbf{x} = (x_1, ..., x_n)\begin{pmatrix}x_1 \\ ...\\ x_n \end{pmatrix} = (x_1^2+ ... + x_n^2)$

$(\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_1}, ...,\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_n}) = (2x_1, ..., 2x_n) = 2\textbf{x}^T$

V tomhle případě mi tam právě dělá neplechu ta složená funkce, pokusím se si s tím ještě pohrát, děkuju moc a moc :)

Stýv · 11. 11. 2014 21:48

↑ Neth: kdyžtak parciální derivace se značí $\partial$ , je to i tady v editoru, hned první blok

Neth · 12. 11. 2014 13:15

↑ Stýv:

Pardon, opravím to.

Rumburak

↑ Neth:

Ahoj.
A co takhle vzít si na pomoc definici součinu dvou matic, jak doporučila kolegyně ↑ jelena:, již zdravím ?

Máme $g: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^m$ , tj. $g = (g_i)_{i=1}^m$ , dále

$f(\textbf{x}) = g(\textbf{x})^{T}g(\textbf{x}) = \sum_{k=1}^m g_k(\textbf{x})g_k(\textbf{x}) = \sum_{k=1}^m g_k^2(\textbf{x}), \textbf{x} = (x_j)_{j=1}^n$ .

Odtud zderivováním podle $x_j$ dostáváme

$\frac{\partial}{\partial x_j} f(\textbf{x}) = \sum_{k=1}^m \frac{\partial}{\partial x_j}g_k^2(\textbf{x}) =\sum_{k=1}^m 2g_k(\textbf{x}) \frac{\partial}{\partial x_j}g_k(\textbf{x}) = 2 \sum_{k=1}^m g_k(\textbf{x}) \frac{\partial}{\partial x_j}g_k(\textbf{x})$ ,

atd.

Neth · 12. 11. 2014 15:37

↑ Rumburak:

Parádnost, děkuji moc. Už mi to je všechno jasné.

Děkuju za čas vás všech.

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2014 16:12 — Editoval Neth (08. 11. 2014 18:37)

Derivace maticových výrazů

#2 10. 11. 2014 12:33

Re: Derivace maticových výrazů

#3 10. 11. 2014 14:44

Re: Derivace maticových výrazů

#4 10. 11. 2014 21:03

Re: Derivace maticových výrazů

#5 10. 11. 2014 21:16

Re: Derivace maticových výrazů

#6 10. 11. 2014 23:28

Re: Derivace maticových výrazů

#7 10. 11. 2014 23:40 — Editoval Neth (12. 11. 2014 13:20)

Re: Derivace maticových výrazů

#8 11. 11. 2014 21:48

Re: Derivace maticových výrazů

#9 12. 11. 2014 13:15

Re: Derivace maticových výrazů

#10 12. 11. 2014 14:05 — Editoval Rumburak (12. 11. 2014 14:31)

Re: Derivace maticových výrazů

#11 12. 11. 2014 15:37

Re: Derivace maticových výrazů

Zápatí