Matematické Fórum

Kdosi · 12. 11. 2014 21:28

Zdravím.
Mám trochu problém s jedním důkazem, něco mi nesedí, nebo spíš bych možná potřeboval trochu naťuknout. Zadání se nachází v literatuře, jako cvičení bez řešení.
Cituji: "Dokažte: tehdy a jen tehdy je $\lim{a_n}=+\infty$ , je-li $\lim{\frac{1}{a_n}}=0$ .".
Chápu výrok dobře, jako ekvivalenci, tedy konkrétně: Je-li $\lim{\frac{1}{a_n}}=0$ , potom $\lim{a_n}=+\infty$ ? Takže vlastně $\lim{\frac{1}{a_n}}=0\Leftrightarrow\lim{a_n}=+\infty$ .
Napadá mě důkaz (úmluva: " $\lim_{n\to+\infty}=\lim$ "):
Víme, že $\forall\varepsilon>0 \exists{n_0}$ takové, že $\forall{n}>n_0$ platí $\frac{1}{|a_n|}<\varepsilon$ . Tedy $|a_n|>\frac{1}{\varepsilon}$ . Položme $A=\frac{1}{\varepsilon}$ , potom $A=\frac{1}{\varepsilon}>|a_n|$ , tedy skutečně $\lim{a_n}=+\infty$ .
V důkazu asi chybý detaily, ale jde mi o princip, pokud na to jdu správně, tak klidně doupravím.
Nevím však, jestli to dokazuje ekvivalenci ( $\lim{\frac{1}{a_n}}=0\Leftrightarrow\lim{a_n}=\infty$ ) a né jen implikaci ( $\lim{\frac{1}{a_n}}=0\Rightarrow \lim{a_n}=\infty$ ).
Děkuji velmi za Váš čas, přeji pěkný večer :)

Eratosthenes · 12. 11. 2014 23:48

ahoj ↑ Kdosi:

dokazované tvrzení

$\lim{\frac{1}{a_n}}=0 \Leftrightarrow \lim{a_n}=+\infty$

neplatí, protože

$\lim{\frac{1}{a_n}}=0$ je i v případě, že $\lim{a_n}=-\infty$

Kdosi · 13. 11. 2014 16:12 — Editoval Kdosi (13. 11. 2014 16:20)

↑ Eratosthenes:
Ano, pardon, zapomněl jsem tam dopsat absolutní hodnotu, resp. napsal, ale špatně a jaksi se to nezobrazuje. Nejde mi to editovat, takže znovu opravené:

Cituji: "Dokažte: tehdy a jen tehdy je $\lim{|a_n|}=+\infty$ , je-li $\lim{\frac{1}{a_n}}=0$ .".
Chápu výrok dobře, jako ekvivalenci, tedy konkrétně: Je-li $\lim{\frac{1}{a_n}}=0$ , potom $\lim{|a_n|}=+\infty$ ? Takže vlastně $\lim{\frac{1}{a_n}}=0\Leftrightarrow\lim{|a_n|}=+\infty$ .
Napadá mě důkaz (úmluva: " $\lim_{n\to+\infty}=\lim$ "):
Z definice víme, že $\forall\varepsilon>0 \exists{n_0}$ takové, že $\forall{n}>n_0$ platí $\frac{1}{|a_n|}<\varepsilon$ . Tedy $|a_n|>\frac{1}{\varepsilon}$ . Položme $A=\frac{1}{\varepsilon}$ , potom $A=\frac{1}{\varepsilon}>|a_n|$ , tedy skutečně $\lim{|a_n|}=+\infty$ .
V důkazu asi chybý detaily, ale jde mi o princip, pokud na to jdu správně, tak klidně doupravím.
Nevím však, jestli to dokazuje ekvivalenci ( $\lim{\frac{1}{a_n}}=0\Leftrightarrow\lim{|a_n|}=\infty$ ) a né jen implikaci ( $\lim{\frac{1}{a_n}}=0\Rightarrow \lim{|a_n|}=\infty$ ).

Děkuji a omlouvám se...

Matematické Fórum

#1 12. 11. 2014 21:28

Problém s důkazem

#2 12. 11. 2014 23:48

Re: Problém s důkazem

#3 13. 11. 2014 16:12 — Editoval Kdosi (13. 11. 2014 16:20)

Re: Problém s důkazem

Zápatí