Matematické Fórum

kexholm · 12. 11. 2014 21:45

Ahoj, mám vyšetřit zda je toto těleso: $(\mathbb{R} ,\oplus,\odot )$

Kde operace $\oplus$ je definována takto: $a\oplus b = a+b+\frac 12$ A operace $\odot$ zase takto: $a\oplus b = a+b+2ab$

Rozhodnu zda $(\mathbb{R}\setminus \{0\} ,\odot )$ je grupa:
- uzavřenost - sčítání je v R uzavřené, takže uzavřenost platí
- asociativita:
$(a\odot b)\odot c = a\odot (b\odot c )$
$(a+b+2ab)+c+2(a+b+2ab)c = a+(b+c+2bc)+2a(b+c+2bc)$
$a+b+2ab+c+2(a+b+2ab)c - a-b-c-2bc-2a(b+c+2bc) = 0$
$2ab+2(a+b+2ab)c-2bc-2a(b+c+2bc)=0$
$2ab+2ac+2bc+4abc-2bc-2ab-2ac-4abc=0$
$0=0$
Z pravidel sčítání v R asociativita platí
- neutrální prvek:
$a\odot e= e\odot a = a$
$a+e+2ae= e+a+2ea = a$
pro e vyřeším $a+e+2ae=a$
$e=\frac{a-a}{2ae}$ $e=\frac{0}{2ae}$ $e=0$
to samé pro $e+a+2ea=0$

neutrální prvek je tedy 0
- inverzní prvek:
$a\odot i = i\odot a = e$
$a+i+2an=0$
$i(1+2a)=-a$
$i=\frac{-a}{1+2a}$
$i=\frac{a}{2a-1}$
Inverzní prvek je tedy toto, a grupa to je.

Teď ještě že $(\mathbb{R},\oplus )$ je komutativní grupa:

- uzavřenost, argument stejný jako předtím
- asociativita:
$(a\oplus b)\oplus c = a\oplus (b\oplus c )$
$(a+b+\frac 12)+ c +\frac 12 = a + (b+c+ \frac 12 ) + \frac 12$
$a+b+c+1-a-b-c-1=0$
$0=0$
Asociativita platí
- komutativita $a\oplus b = b\oplus a$ ; $a+b+\frac 12=b+a+\frac 12$ $0=0$ platí
- neuterus prvkus $a\oplus e= e\oplus a = a$ ; $a+e+\frac 12 = a$ ; $e= -\frac 12$ existuje
- prvkus inverzikus $a\oplus i = i \oplus a=e$ ; $a+i+\frac 12 =-\frac 12$ ; $i=-1-a$

Takže platí a těleso to je. Vychází Vám to stejně? Podávám dostatečné argumenty? Nevypadlo mi nic? Děkuju moc předem!

kexholm · 13. 11. 2014 08:13

Aha nemusím ještě ověřit distributivitu? Myslela jsem že to asi vyplývá z toho nahoře ale jak si pročítám literaturu tak si nejsem úplně jistá. Snad jen pro ověření si to vyzkoušet?

kexholm

není to těleso, ještě obě grupy musí být komutativní (btw jsou), ale tam u tý tečky v kroužku jsem 0 vyloučila takže to grupa není takže ani těleso to netvoří

vanok · 13. 11. 2014 11:42

Ahoj ↑ kexholm:
Treba vylucit neutralny prvok prveho zakona
Necital som podobne co robis, ale si zacala trochu na opak.
Tak to zreorganizuj.

kexholm · 13. 11. 2014 17:40

Proč naopak?

vanok · 13. 11. 2014 21:28

Scitajuci zakon urcuje nulu scitania. A v nasobny zakon ju musî vylucit. ....
Porozmyslaj preco.

kexholm · 13. 11. 2014 21:35

↑ vanok: to už jsem adresovala, koukni se na ↑ kexholm:

Nevidím proč to je "naopak"? Jinak argumenty jsou dobré? Díky moc.

vanok · 13. 11. 2014 22:04

Vsak "nula" v Tom prvom zakona je kto?
Vo tvojej structure 0, nie je zaujimava.
Si skutocne ukazala ze -1/2 je nulovy prvok....
Tak nemas pricinu potom vylucit 0 pre druhy zakon.
TY si najprv vylucila 0 v druhom zakone, ale nemala si na to ziadnu platnu pricinu.

kexholm · 13. 11. 2014 23:24

$(\mathbb{R}\setminus \{0\} ,\odot )$
Ahoj, to mám z literatury, takhle se u nás nadefinovalo těleso. Na přednášce se zmínil nějaký pádný důvod k tomu ale jsem moc unavená na to abych si vzpomínala teď. :)

ahá už asi vím co myslíš, že ta nula má být neutrální prvek z $(\mathbb{R} ,\oplus )$ , no sakra! ... né ono to dává i smysl... já jsem.. sakra :/

díky moc teda, ještě se nad tím zamyslím

Matematické Fórum

#1 12. 11. 2014 21:45

Těleso

#2 13. 11. 2014 08:13

Re: Těleso

#3 13. 11. 2014 11:33 — Editoval kexholm (13. 11. 2014 11:33)

Re: Těleso

#4 13. 11. 2014 11:42

Re: Těleso

#5 13. 11. 2014 17:40

Re: Těleso

#6 13. 11. 2014 21:28

Re: Těleso

#7 13. 11. 2014 21:35

Re: Těleso

#8 13. 11. 2014 22:04

Re: Těleso

#9 13. 11. 2014 23:24

Re: Těleso

Zápatí