Matematické Fórum

Callme · 30. 10. 2014 00:03 — Editoval jelena (14. 11. 2014 14:02)

Cavte ako vyriesim
Nájdite zloženú funkciu $f_{n} = f(f(f(. . . (f))))$ , $n\in \mathbb{N}$ , ak funkcia f je definovaná
predpisom f(x) = 5 + 4x, $x\in \mathbb{R}$

Jelena: doplněno z jiného tématu (je přehlednější):
Nájdite zloženú funkciu $f_{n} = f(f(f(. . . (f))))$ , $n\in \mathbb{N}$ ,ak funkcia f je definovaná predpisom
$f(x) = 5 + 4x$ , $x\in \mathbb{R}$ ?
Vysledok by mal byt $f_{n}(x) = 5(\frac{4^{n}-1}{3})+4^{n}x$ , $f_{n}(x) = 5(\sum_{i=0}^{n-1}4^{i})+4^{n}x$

BakyX · 30. 10. 2014 00:18

Ak $f(x)=a+bx$ , tak $f(f(x)) = f(a+bx)=a+b(a+bx) =a(b+1)+b^2x$

Takže $f_{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}x$ , kde

$a_{n+1}=a_n (b_n+1)$
$b_{n+1}=b_n^2$

Callme · 30. 10. 2014 00:39

Dosadim za $a$ 5 a za $b$ 4x a to je akoze vysledok?

BakyX · 30. 10. 2014 09:32

↑ Callme:

No nie. Potrebuješ nájsť explicitné vyjadrenie $a_n=...$ , $b_n=...$ pomocou $a_1$ , $b_1$ a výsledok bude $f_n=a_n+b_nx$

Callme · 30. 10. 2014 10:51

↑ BakyX:
A ako sa hlada?
$f_{2}(x)=5+20+16x$
$f_{3}(x)=5+100+64x$ ...
Z toho to vyplyva ze $5+(?)+4^{n}x$ kde n zacina od 1

Callme · 31. 10. 2014 13:02

Nezistuje sa to takto ako som napisal vypisanim niekolkych funkcii?

Callme · 14. 11. 2014 13:37 — Editoval Callme (14. 11. 2014 13:39)

$f_{1}(x)=5+4x$
$f_{2}(x)=5+4(5+4x)=5+20+16x=25+16x$
$f_{3}(x)=5+4(25+16x)=5+100+64x=105+64x$
$f_{4}(x)=5+4(105+64x)=5+420+256x=425+256x$
$f_{5}(x)=5+4(425+256x)=5+1700+1024x=1705+1024x$

Ako vyvodim z tychto funkcii vysledok?

Rumburak

↑ Callme:

Ahoj.

Kolega ↑ BakyX: Ti odvodil, že každá z funkcí $f_n$ bude tvaru $f_n(x)=a_n+b_nx$ , v němž
čísla $a_n , b_n$ musí vyhovovat soustavě diferenčních rovnic

$a_{n+1}=a_n (b_n+1)$ ,
$b_{n+1}=b_n^2$

s počátečními podmínkami $a_1 = a = 5$ , $b_1 = b = 4$ .

Jde tedy o to vyřešit tuto soustavu - třeba metodami, jakými se řeší diferenční rovnice.
Začni tou druhou rovnicí, z níž je patrné, že posloupnost $(b_n)$ není závislá na posloupnosti $(a_n)$ .

Callme · 14. 11. 2014 14:26

↑ Rumburak:
A ako sa riesia diferenční rovnice? Iny sposob nie je?

Rumburak

↑ Callme:

O diferenčních rovnicích jsem se zmínil v naději, že jste je probírali. Ale některé jejich případy se dají
vyřešit i bez teorie - "pouhým" úsudkem. Tak je tomu i s rovnici $b_{n+1}=b_n^2 ( b_1 = 4)$ . Je zřejmé,
že posloupnost, která je jejím řešením, má pouze kladné členy, takže rovnici můžeme zlogaritomovat (třeba
při základu 4) a tím zjistíme, že $(\log_4 b_n)$ je geometrická posloupnost o kvocientu 2. Zkus pokračovat sám.

Callme · 14. 11. 2014 15:53 — Editoval Callme (14. 11. 2014 15:57)

↑ Rumburak:
K comu mi je to $q$ ?
Vyuzijem nejaky vzorec pre geometricku postupnost?

Callme · 15. 11. 2014 16:12

Vedel by mi niekto napisat ako vyzera kompletny postup?

jelena · 15. 11. 2014 21:06

Zdravím,

a opětuji pozdrav kolegovi ↑ Rumburak: (do tématu). Postupovala jsem tak, že jsem závorky nerozepisovala, tedy např. $f_5=5+4(5+4(5+4(5+4(5+4x)))$ , člen obsahující x je vidět i ve Tvé úpravě ↑ Callme:, pokud nebudeš 4 mezi sebou násobit, ale ponecháš jako $4x$ , $4\cdot4x$ , $4\cdot 4 \cdot 4x$ atd.

Stejně tak nebudu roznásobovat lineární členy a mám $5+4\cdot 5+4\cdot 4\cdot 5+4\cdot 4\cdot 4\cdot 5\ldots$ , po vytknutí $5(1+4+4\cdot 4+4\cdot 4\cdot 4\ldots 4^{n})$ , což dává v závorce součet geometrické posloupnosti -prvních n členů, samotnou posloupnost už bys měl vidět.

To už bys měl dokončit (pro jistotu překontroluj mé úpravy, zda nemám chybu v počtu n). Bude dobré, pokud potom ještě prokonzultuješ postup, navržený kolegy - bude to pro Tebe mít větší odborný užitek, než to, co píší. Můj návrh se podaří využit? Děkuji.