Matematické Fórum

Argcotgh x · 15. 11. 2014 17:35

Ahoj, nevím si už rady s tímto:

Pro jaké alfa (α) reálné má funkce

f(x) = |x|^α . sin 1/x .......... pro x ≠0

f(x) = 0 pro x = 0

derivaci v bodě 0.
+ Kdy je tato derivace v bodě 0 spojitá?

*

Uvažoval jsem možnosti α = 0, 1, 2. Alternativu α=1 jsem vyloučil, nezbavil bych se tím absolutní hodnoty.

Mám tedy možnosti f(x) = sin 1/x, nebo f(x) = x^2 . sin 1/x.

Jejich derivace jsou (-1/x^2).cos 1/x, resp. 2x.sin x - cos 1/x.

Pořád tam ale dostávám nulu ve jmenovateli.

Mohl bych poprosit o pomoc?

Brzls · 15. 11. 2014 18:02

↑ Argcotgh x:

Tvému zdůvodnění, proč se α nerovná 1 nějak nerozumím. Ale já osobně bych vyšel z definice derivace.

$\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|^{\alpha }\sin (\frac{1}{h})}{h}$

pro které alfa tato limita existuje? A čemu je rovna? Co se týče spojitost, tak stačí vědět, že pro spojitou funkci musí platit
$g(a)=\lim_{x\to a}g(x)$

Argcotgh x · 15. 11. 2014 18:26

Tu jedničku jsem vyloučil, protože bych se nezbavil absolutní hodnoty.

Napadá mě pro alfa = 2

|h|^2 * sin (1/h) h * sin (1/h) sin (1/h)
lim (h-->0) ________________ = lim (-->0) ___________ = lim (x-->0) __________ = 1
h 1 1 / h

Čili pro alfa = 2 dostávám limitu 1.

Brzls · 15. 11. 2014 18:38

↑ Argcotgh x:

to není pravda.
1. Co ti vadí na absolutní hodnotě? Pokud ta limita bude existovat tak je jedno jestli tam je nebo neni absolutní hodnota

2. Rozhodně neplatí
$\lim_{h\to0} \frac{\sin \frac{1}{h}}{\frac{1}{h}}=1$ to by platilo kdyby to h šlo do nekonečna ne do nuly.

Zkus pracovat s obecnou alfou, ale klidně si to napřed vyzkoušej s tou dvojkou, a pak radši i trojkou aby si viděl že absolutní hodnota tam není problém

Argcotgh x · 15. 11. 2014 19:21

No pro dvojku dostanu

lim (h-->0) h . sin (1/h)

pro trojku

h≥0 ... |h| = h
h<0 ... |h| = -h

h≥0
lim (h-->0) (h^3 . sin (1/h)) / h = (h^2) . sin (1/h)
h<0
lim (h-->0) ((-h)^3 . sin (1/h)) / h = (- h^2) . sin (1/h)

obecně pro α sudé
lim (h-->0) h^(α-1) . sin (1/h)

pro α liché
pro h≥0
lim (h-->0) h^(α-1) . sin (1/h)
h<0
lim (h-->0) -h^(α-1) . sin (1/h)

a abych nevynechal tu jedničku, tak ta by měla tvořit limitu

lim (h-->0) (|h|.sin (1/h))/h,
pro h≥0
lim (h-->0) sin (1/h)
pro h<0
lim (h-->0) - sin (1/h)

a pro úplnost pro nulu

lim (h-->0) sin (1/h) / h.

Ale nevím s výpočtem těch limit, pořád tam je 1/h a h jdoucí k nule.

Argcotgh x · 15. 11. 2014 20:55

Možná že jsem na to - čistě náhodou - přišel-

- našel jsem na wikipedii příklad, kdy funkce

f(x) = x^2 . sin (1/x)

je diferencovatelná v bodě 0

(ale není spojitě diferencovatelná, neboť její derivace

f´(x) = 2x . sin(1/x) - cos (1/x)

není spojitá).

Teď jde ještě o to, zdůvodnit, jak jsem došel k tomu, že alfa = 2.

Brzls · 15. 11. 2014 22:45 — Editoval Brzls (15. 11. 2014 22:46)

↑ Argcotgh x:

No pokud sis to našel na wikipedii tak si na to nepřišel ale našel sis to na wikipedii :)
Navíc si učinil špatný závěr.

Správně ri vyjde, že ta funkce má derivaci pro jakýkoli alfa větší než jedna.

Koukneme se na ty limity. Tak pro začátek vezmu alfa se rovná dva, ty zkus rozmyslet obecný sudý a pak obecný lichý.

$\lim_{h\to0}h\sin \frac{1}{h}$

je snad jasné, že

$\lim_{h\to0}\sin \frac{1}{h}=\lim_{t\to\infty }\sin t$

neexistuje. Ale jedná se o omezenou funkci, takže vzhledem k tomu, že $\lim_{h\to0}h=0$ tak limita

$\lim_{h\to0}h\sin \frac{1}{h}=0$

Napiš výpočet limity pro sudé alfa. U těch lichých to správně rozděluješ na limitu zprava a zleva. Ukaž že ty limity existují (kromě alfa menší rovno jedné) a dokonce bys pak měl být schopný učinit závěr pro libovolné reálné alfa. Koneckonců nikde není napsáno že by alfa muselo být celé číslo.
Pak se koukneme na tu spojitost jestli to nebude jasné.

Argcotgh x · 15. 11. 2014 23:13

Myslím, že jsem našel řešení:

Obecně můžeme zvolit nějaké přirozené číslo n a uvažovat následující funkci

f(x) = x^n . sin (1/x) pro x0
f(x) = 0 pro x = 0

"Tato funkce je spojitá na reálné ose, má všechny derivace v nenulových x a její derivace v x = 0 je rovna nule až do řádu (n - 1), ale neexistuje n-tá derivace v počátku"

Argcotgh x · 15. 11. 2014 23:15

zdroj:

http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/4/txc3ba4t.htm

Brzls · 15. 11. 2014 23:22

↑ Argcotgh x:

Jako ne že by to nebyla pravda, ale myslel sem že na to máš přijít sám. Že to tak má vyjít sem ti už koneckonců říkal. Pokud máš za úkol rozhodnout jak to je i pro neceločíselná alfa tak to stejně musíš udělat sám.
Stejně tak rozhodnout o spojitosti derivace.

Argcotgh x · 16. 11. 2014 11:54

Takže pro α sudé

α = 2

f´(0) = lim (h-->0) |h|^2 * sin(1/h) / h = lim (h-->0) h^2 * sin(1/h) / h = lim (h-->0) h * sin (1/h) = 0 * sin(1/h) = 0

α = 4

f´(0) = lim (h-->0) |h|^4 * sin(1/h) / h = lim (h-->0) h^4 * sin(1/h) / h =lim (h-->0) h^3 * sin (1/h) = 0 * sin(1/h) = 0

α = 6

f´(0) = lim (h-->0) |h|^6 * sin(1/h) / h = lim (h-->0) h^6 * sin(1/h) / h = lim (h-->0) h^5 * sin (1/h) = 0 * sin(1/h) = 0

obecně α = 2k

f´(0) = lim (h-->0) |h|^2k * sin(1/h) / h = lim (h-->0) h^2k * sin(1/h) / h = lim (h-->0) h^(2k-1) * sin (1/h) = 0^(2k-1) * sin(1/h) = 0 * sin(1/h) = 0

Protože při výpočtu limity pro libovolnou sudou mocninu h dostáváme 0^(2k-1) * sin(1/h) = 0 * sin(1/h) = 0, platí tato limita pro všechna α sudá a je rovna 0. Funkce má v bodě 0 derivaci rovnu 0.

Pozor!

Nemůže být k = 0, dostali bychom funkci

f = sin 1/x
která není v bodě 0 definovaná, nemá v něm ani limitu a derivaci.

*

Pro α liché

α = 3

f = |x|^3 * sin 1/x

pro x ≥ 0:
f = x^3 * sin 1/x

pro x<0:
f = - x^3 * sin 1/x

Derivace v nule zprava:

f´(0+) = lim (h-->0+) h^3 * sin(1/h) / h = lim (h-->0+) h^2 * sin (1/h) = 0 * sin(1/h) = 0

Derivace v nule zleva:

f´(0-) = lim (h-->0-) (-1)*h^3 * sin(1/h) / h = lim (h-->0-) (-1) * h^2 * sin (1/h) = (-1) * 0 * sin(1/h) = 0

Derivace v nule zprava a zleva jsou si rovny, funkce má v bodě 0 derivaci rovnu 0.

*

α = 5

f = |x|^5 * sin 1/x

pro x ≥ 0:
f = x^5 * sin 1/x

pro x<0:
f = - x^5 * sin 1/x

Derivace v nule zprava:

f´(0+) = lim (h-->0+) h^5 * sin(1/h) / h = lim (h-->0+) h^4 * sin (1/h) = 0 * sin(1/h) = 0

Derivace v nule zleva:

f´(0-) = lim (h-->0-) (-1)*h^5 * sin(1/h) / h = lim (h-->0-) (-1) * h^4 * sin (1/h) = (-1) * 0 * sin(1/h) = 0

Derivace v nule zprava a zleva jsou si rovny, funkce má v bodě 0 derivaci rovnu 0.

*

Obecně pro α = liché, α = 2k+1

f = |x|^(2k+1) * sin 1/x

pro x ≥ 0:
f = x^(2k+1) * sin 1/x

pro x<0:
f = - x^(2k+1) * sin 1/x

Derivace v nule zprava:

f´(0+) = lim (h-->0+) h^(2k+1) * sin(1/h) / h = lim (h-->0+) h^(2k) * sin (1/h) = 0^(2k) * sin(1/h) = 0

Derivace v nule zleva:

f´(0-) = lim (h-->0-) (-1)*h^2k+1) * sin(1/h) / h = lim (h-->0-) (-1) * h^(2k) * sin (1/h) = (-1) * 0^(2k) * sin(1/h) = 0

Derivace v nule zprava a zleva jsou si rovny, funkce má v bodě 0 derivaci rovnu 0.

Protože při výpočtu limity pro libovolnou lichou mocninu h dostáváme 0^(2k) * sin(1/h) = 0 * sin(1/h) = 0, platí tato limita pro všechna α lichá a je rovna 0. Funkce má v bodě 0 derivaci rovnu 0.

Pozor!
nemůže být k = 0, dostali bychom α = 1 a funkci

f = |x| * sin 1/x,

f´(0+) = lim (h-->0) h * sin(1/h) / h = lim (h-->0) sin 1/h, tato limita neexistuje
f´(0-) = lim (h-->0) (-1)* h * sin(1/h) / h = lim (h-->0) (-1)*sin 1/h, tato limita neexistuje

Derivace funkce f = |x| * sin 1/x v bodě 0 neexistuje.

Závěr:

Funkce f = |x|^α * sin 1/x,
má v bodě 0 derivaci,
pro všechna α = 2k (sudá), kde k≠0,
pro všechna α = 2k+1 (lichá), kde k≠0.

Lze to však ještě více zobecnit:

při výpočtu derivace dostáváme nakonec limitu, pro kterou obecně platí

lim(x-->0) h^(α-1) * sin (1/h) = 0^(α-1) * sin (1/h).

Funkce sinus je omezená a její součin s nulou dá nulu. Nula umocněná nenulovým číslem dá nulu,
platí tedy

α-1 > 0,

α > 1.

Za této podmínky postupně vychází, že funkce f = |x|^α * sin 1/x má derivaci v nule pro reálná α > 1.

Teď ještě ta spojitost derivace v bodě 0 - má asi platit

f´(0) = lim (x-->0) f´(x)

pro x≥0
f´(x) =(x^α * sin 1/x)´= α*x^(α-1) * sin 1/x + x^α * (-1)*x^(-2)* cos(1/x)

pro x<0

f´(x) =(-x^α * sin 1/(-x))´= (-1)*α*x^(α-1) * sin 1/(-x) - x^α*x^(-2)* cos(1/(-x))

a tedy

pro x≥0
lim(x-->0) α*x^(α-1) * sin 1/x + x^α * (-1)*x^(-2)* cos(1/x) = α*0^(α-1) * (sin 1/x) + 0^α*(-1)*0^(-2)* cos(1/x)
1.člen - rozhodující je 0^(α-1), α-1 > 0, α > 1.
2.člen - rozhodující je 0^α, α > 0
Silnější je 1.předpoklad, musí být α > 1. Za tohoto předpokladu je limita rovna 0.

pro x<0
lim(x-->0) (-1)*α*x^(α-1) * sin 1/(-x) - x^α*x^(-2)* cos(1/(-x)) = (-1)*α*0^(α-1) * sin(1/x) - 0^α*0^(-2) *cos(1/(-x))
Výsledek je stejný, musí být α > 1. Za tohoto předpokladu je limita rovna 0.

Derivace f´(0) jsou též rovny 0.

Avšak např. derivace funkce |x|^2 * sin(1/x) v bodě 0 není spojitá.

Jak to tedy je se spojitostí derivace v bodě 0?

Brzls · 16. 11. 2014 12:55

↑ Argcotgh x:

Jo vyšetření derivace vypadá dobře.

K té spojitosti.
Správně si napsal co musí ta funkce splňovat, pak si ale špatně spočítal tu limitu

Takhle to vypadá pro sudá alfa (prostě se mi nechce rozdělovat na limitu zprava a zleva, vypadá to úplně stejně totiž)

Pro x se nerovná nula

$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}=\alpha x^{\alpha -1}\sin (\frac{1}{x})-x^{\alpha -2}\cos (\frac{1}{x})$

Víme, že alfa je větší než jedna, takže první člen jde v limitě k nule. Zbývá vyštetřit limitu
$\lim_{x\to0}-x^{\alpha -2}\cos (\frac{1}{x})$

No a úplně stejnou úvahou můžeš prohlásit, že pro alfa=2 neexistuje a tím pádem ani původní limita neexistuje. Naopak pro alfa větší než dva existuje, a navíc je rovna 0, což znamená, že derivace je spojitá.

Argcotgh x · 16. 11. 2014 13:17

Takže stačí prohlásit, že pro α = 2 má poslední limita tvar

lim (x-->0) (-x)^(α-2) * cos(1/x) = lim (x-->0) (-1)*x^0 * cos (1/x) = lim (x-->0) cos 1/x, která neexistuje.

Pro α >2 má limita tvar

lim (x-->0) (-x)^(α-2) * cos(1/x) = 0^(α-2) * cos(1/x) = 0 * cos (1/x) = 0

Tedy pro α >2 limita existuje a je rovna 0; derivace funkce f = |x|^α * sin 1/x, α >1 je v bodě 0 též rovna 0;

pro α >2 je tedy funkce v bodě 0 spojitá.

Brzls · 16. 11. 2014 13:50

↑ Argcotgh x:

A ještě že pro alfa mezi 1 a 2 derivace existuje a není spojitá

Argcotgh x · 16. 11. 2014 13:59

A jak dokážu nespojitost pro funkční hodnoty mezi 1 a 2 ?

Ta druhá limita je i pro 1 < x < 2 nulová (0^alfa * cos (1/x) = 0 * cos (1/x) = 0.

Brzls · 16. 11. 2014 14:14

↑ Argcotgh x:

To přece není pravda

symbolicky psáno pro alfa mezi jedničkou a dvojkou

$\lim_{x\to0}x^{\alpha -2}\cos \frac{1}{x}=\lim_{x\to0}\infty \cos \frac{1}{x}$

Argcotgh x · 16. 11. 2014 14:43

Jo, to jsem zvoral, díky.

Takže pro 1 < α ≤ 2 derivace v bodě 0 existuje, ale není v bodě 0 spojitá.

Pro α > 2 derivace v bodě 0 existuje a je v bodě 0 spojitá.

Je to správné shrnutí?

Brzls · 16. 11. 2014 14:53

Podle me jo.

Argcotgh x · 16. 11. 2014 14:56

Tak díky moc za pomoc a za trpělivost!

Matematické Fórum

#1 15. 11. 2014 17:35

Derivace funkce v bodě

#2 15. 11. 2014 18:02

Re: Derivace funkce v bodě

#3 15. 11. 2014 18:26

Re: Derivace funkce v bodě

#4 15. 11. 2014 18:38

Re: Derivace funkce v bodě

#5 15. 11. 2014 19:21

Re: Derivace funkce v bodě

#6 15. 11. 2014 20:55

Re: Derivace funkce v bodě

#7 15. 11. 2014 22:45 — Editoval Brzls (15. 11. 2014 22:46)

Re: Derivace funkce v bodě

#8 15. 11. 2014 23:13

Re: Derivace funkce v bodě

#9 15. 11. 2014 23:15

Re: Derivace funkce v bodě

#10 15. 11. 2014 23:22

Re: Derivace funkce v bodě

#11 16. 11. 2014 11:54

Re: Derivace funkce v bodě

#12 16. 11. 2014 12:55

Re: Derivace funkce v bodě

#13 16. 11. 2014 13:17

Re: Derivace funkce v bodě

#14 16. 11. 2014 13:50

Re: Derivace funkce v bodě

#15 16. 11. 2014 13:59

Re: Derivace funkce v bodě

#16 16. 11. 2014 14:14

Re: Derivace funkce v bodě

#17 16. 11. 2014 14:43

Re: Derivace funkce v bodě

#18 16. 11. 2014 14:53

Re: Derivace funkce v bodě

#19 16. 11. 2014 14:56

Re: Derivace funkce v bodě

Zápatí