Matematické Fórum

ewer12 · 17. 11. 2014 00:42

Dobrý den, mám problém s řešením následujícího problému:
Pro kolik 3-místných čísel n menších než 200 platí, že $n^{3}-n$ je dělitelné 7?
Zatím se mi podařilo zjistit pouze to, že $n^{3}-n$ je vždy sudé, mohl by mi někdo dát radu jak pokročit?
děkuji

vanok · 17. 11. 2014 08:30 — Editoval vanok (17. 11. 2014 08:32)

Ahoj ↑ ewer12:,
Navod.
Ak cislo n=7k je delitelne 7°, co mozes povedat?
Potom vysetrit ostatne pripady, pre
pre n=7k+1
n=7k+2
...
n=7k+6.
Prakticky vyjadri postupne v kazdom pripade
$n^3-n=(7k+1)^3-(7k+1)=...$ tak ze oddelis cast delitelnu 7my a zvysnu cast.
( 6 vypoctov do kopy)

Pokracuj.

Dufam ze si nezabudol, ze $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

zdenek1 · 17. 11. 2014 09:02

↑ ewer12:
Ještě bych návod od ↑ vanok: trochu zefektivnil.
Začal bych tím, že bych si napsal $n=7k+i$ , kde $i$ je zbytek po dělení, tj. $i\in\{0..6\}$
Pak bych udělal zmíněnou úpravu $n^3-n=(7k+i)^3-(7k+i)=...$ a dostal podmínky pro zbytky.
Výhoda by byla, že bych udělal jen jeden výpočet.

vanok · 17. 11. 2014 09:34

Pozdravujem ↑ zdenek1:,
Pochopitelne je to matematicky krajsie, no chcel som sa vyhnut priliz velkej abstraktivnosti, pokial neviem ako zareaguje kolega na moj navod.
Skoda, ze nam nenapisal jeho pokusy riesenia.

Jj · 17. 11. 2014 09:49

↑ ewer12:

Zdravím. Snad nebude vadit, když ještě přidám postup:

$n^{3}-n=n(n+1)(n-1)$ je dělitelné sedmi, je-li dělitelné sedmi 'n' nebo 'n-1' nebo 'n+1'.

Má-li být 'n' dělitelné sedmi, pak bude platit n = 7k, k = 15, 16, 17, ... 28 pro splnění podmínky, že n je trojmístné číslo menší než 200. To spolu s předchozím odstavcem umožnuje v podstatě ihned určit počet hledaných třímístných čísel n.

zdenek1 · 17. 11. 2014 09:59

↑ Jj:
Tak ten rozklad je moc pěkný. A přitom tak jednoduchý.

ewer12 · 17. 11. 2014 10:16 — Editoval ewer12 (17. 11. 2014 10:17)

Tak Jjho řešení je asi nejjednodušší (takových čísel n bude 39), díky.
vanok a zdenek1, pochopil jsem vás správně pokud bych problém řešil tímto způsobem?
$(7k+i)^3 -(7k+i) = 343k^3 + 147k^2i + 21ki^2 + i^3 - 7k - i$ , všechny členy s k jsou dělitelné 7, takže jediné, o co jde je, aby $i^3 - i$ bylo dělitelné 7, takže si vypíšu výsledky $i^3 - i$ pro $i \in \{0..6\}$ (je to nutné?), zjistím, že výraz je dělitelný 7 pokud $i = 1$ nebo $i = 6$ a pak už jenom udělám $\frac{3(y-x)}{7}$ , kde y je největší číslo dělitelné 7 menší než 200 a x nejmenší číslo dělitelné 7 větší než 100, bylo řešení takto zamýšleno nebo je ještě jiný způsob?
Děkuji všem za pomoc.