Matematické Fórum

terezkaaaaa5 · 17. 11. 2014 13:39

Dobrý den, poradíte mi prosím s těmito příklady?

1) $lim \frac{2^{n}+3}{1-4.2^{^{n}}}$

2) $lim \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n+1}-\frac{n}{3}$

Obě limity platí pro n jdoucí k nekonečnu.

Bohužel si s tím nevím rady. Předem děkuji za pomoc.

bonifax · 17. 11. 2014 15:06

Ahoj Terezko,

ano poradím.

Zkus toto:
začneme 1)

V čitateli a jmenovateli vytkni $2^n$ , exponencionálu o nejvyšším základu.

terezkaaaaa5 · 17. 11. 2014 15:28

↑ bonifax:

Potom to bude: $lim\frac{1+0}{0-4(1)}= lim \frac{1}{-4}= - \frac{1}{4}$

Je to tak? :)

bonifax · 17. 11. 2014 15:35

↑ terezkaaaaa5:

joo, to je správně!)

terezkaaaaa5 · 17. 11. 2014 15:38

↑ bonifax:

Děkuji. A ten druhý prosím? Jak je to zadané takto obecně, tak si vůbec nevím rady.

bonifax · 17. 11. 2014 15:46

↑ terezkaaaaa5:

zkusil bychl použít vzorec pro součet AP:

terezkaaaaa5 · 17. 11. 2014 15:52

↑ bonifax:

Děkuji, ale bohužel mi to nepomohlo. Stejně nevím co s tím.

bonifax

↑ terezkaaaaa5:

V čitateli je nějaký součet aritimetické posloupnosti pro kterou platí, že:
$a_1=1$ - první člen je 1
$a_n=2n-1$ - n-tý člen je 2n-1

Vzorec pro součet AP je, použij ho v čitateli:

Tedy takto:
$lim\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n+1}-\frac{n}{3}=lim\frac{\frac{n}{2}(1+2n-1)}{n+1}-\frac{n}{3}=lim\frac{\frac{n}{2}(2n)}{n+1}-\frac{n}{3}=lim\frac{n^2}{n+1}-\frac{n}{3}=...$

terezkaaaaa5 · 17. 11. 2014 16:12

↑ bonifax:

Mockrát děkuji. Měli by to tedy vyjít + nekonečno, že? :)

terezkaaaaa5

A měla bych prosím ještě jeden příklad: $lim (\sqrt{n^{2}+n}-n)$

Výraz jsem si upravila jako: $lim (n+\sqrt{n}-n)$ , ale nevím, zda je to "legální" úprava.

bonifax

1) dobře :)

2) ne, musí tam být součin, abys to mohla takto roztrhnout. Pod odmocninou vytkni nejprve $n^2$ a v dalším kroku to hoď před odmocninu resp. vytknout $\sqrt{n^2}$ z celýho výrazu.

terezkaaaaa5 · 17. 11. 2014 17:44

↑ bonifax:

To je na mě nějaké těžké. Pokud vytknu $n^2$ , tak mi vyjde: $lim\sqrt{1+\frac{1}{n}}-\frac{1}{n}$

bonifax

↑ terezkaaaaa5:

Myslel jsem jen pod tou odmocninou, takhle)

Po chvíli počítání tímto postupem (1) vyjde neurčitý výraz. Znamená to, že je třeba na to jít jinak. Nevadí, napodruhé zkusíme rozšiřování (2).

To už zdá se být na dobré cestě. Po dlouhém výpočtu, vyjde výsledek $\frac{1}{2}$ .

(1)
$lim (\sqrt{n^{2}+n}-n)= lim(\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n}})-n=lim\sqrt{n^2}(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1)=lim (n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1))=[0*\infty ]=NaN$

(2)
$lim (\sqrt{n^{2}+n}-n)=lim\frac{(\sqrt{n^{2}+n}-n)}{1}*\frac{(\sqrt{n^{2}+n}+n)}{(\sqrt{n^{2}+n}+n)}=lim\frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^{2}+n}+n}=lim\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}+n}$

$=lim\frac{n}{\sqrt{n^2}*(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)}=lim\frac{n}{n*(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)}=lim\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{2}$

terezkaaaaa5 · 19. 11. 2014 18:39

↑ bonifax:

Děkuji :)

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2014 13:39

Limity posloupností

#2 17. 11. 2014 15:06

Re: Limity posloupností

#3 17. 11. 2014 15:28

Re: Limity posloupností

#4 17. 11. 2014 15:35

Re: Limity posloupností

#5 17. 11. 2014 15:38

Re: Limity posloupností

#6 17. 11. 2014 15:46

Re: Limity posloupností

#7 17. 11. 2014 15:49 Příspěvek uživatele Kdosi byl skryt uživatelem Kdosi. Důvod: Už zbytečné

#8 17. 11. 2014 15:52

Re: Limity posloupností

#9 17. 11. 2014 16:09 — Editoval bonifax (17. 11. 2014 16:11)

Re: Limity posloupností

#10 17. 11. 2014 16:12

Re: Limity posloupností

#11 17. 11. 2014 16:14 — Editoval terezkaaaaa5 (17. 11. 2014 16:16)

Re: Limity posloupností

#12 17. 11. 2014 17:11 — Editoval bonifax (17. 11. 2014 17:20)

Re: Limity posloupností

#13 17. 11. 2014 17:44

Re: Limity posloupností

#14 17. 11. 2014 21:35 — Editoval bonifax (17. 11. 2014 21:53)

Re: Limity posloupností

#15 19. 11. 2014 18:39

Re: Limity posloupností

Zápatí