Matematické Fórum

firework555 · 21. 11. 2014 09:00

dobrý den, vie mi niekto vysvetlit ako sa da spocitat

$\lim_{x\to 0+} \frac{ln x}{x}$

má vyjsť minus nekonecno, no neviem postup, ako to spocitat.... nemozem pouzivat taylorovy rozvoje... bud nejako elementarne, alebo nejako upravit na l hospitala?? Fakt nevim

diki moc

Brano · 21. 11. 2014 09:43

je to typ $\frac{-\infty}{+0}$ takze nemas co riesit - to je rovno $-\infty$

firework555 · 21. 11. 2014 17:13

aha, takyto postup je korektni? akoze minus nekonecno * plus nekonecnp = minus nekonecno?

Freedy · 29. 11. 2014 02:21 — Editoval Freedy (29. 11. 2014 02:42)

Ahoj,

tak limity jsou nějak definovány.
Existují vlastní/nevlastní limity ve vlastních/nevlastních bodech zprava/zleva (u vlastních limit).
Z těchto definic se dají jednoduše vyvodit výsledky typu pro nekonečno + nekonečno je nekonečno apodobně.
Nedají se však určit neurčité výrazy (které zde nebudu vypisovat)

Pro tvojí limitu však takový výraz nenastává, platí, jak již zmínil ↑ Brano: že:
$\frac{-\infty }{+0}=-\infty$

Můžeme tedy říct že
$\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{x}= -\infty$

Znamená to tedy, že ke každému číslu $K\in \mathbb{R}$ existuje nějaké $\delta >0$ , že pro všechna x z pravého okolí bodu 0 (tedy $x \in (0;\delta )$ platí $f(x)<K$

Tedy:
$\forall K\in \mathbb{R} \exists \delta >0 \forall x\in \mathbb{R}:\\ 0<x<\delta \Rightarrow \frac{\ln x}{x}<K$ (pokud máš zájem, můžeš si to udělat obecně, je potřeba dát pozor na pár faktorů)

Pro například K = -1.000.000 dostáváme:
$\frac{\ln x}{x}<-10^6$
což je přibližně interval: $0<x<1,14\cdot10^{-5}$ Za deltu můžeme tedy vzít například číslo
$\delta =1,1\cdot10^{-5}$
a bude platit, že pro všechna
$x\in (0;\delta )$ bude $\frac{\ln x}{x}<-10^{6}$
Pokud by jsi si zvolil K ještě menší, dokázal bys najít ještě menší deltu pro kterou by to platilo.
Klíč k úspěchu je vyjádření x z nerovnice $\frac{\ln x}{x}<K$