Matematické Fórum

Ahoj, mohl bych poprosit o pomoc s hledáním záhadné chyby ve výpočtu?

Zadání:

V P^n(x,R) určete matici přechodu od báze {1, x, …, x^n} k bázi  {1, (x-a), (x-a)^2,…, (x-a)^n} a naopak.

*
*

Řešení:

Nejprve pro

Báze (1, x-a)

1, x-a
(1, a); (0, 1)

Tedy přechod od báze (1, x), tj. (1, 0), (0, 1),

(1, 0)
(0, 1)

k bázi

(1, 0)
(a, 1)

Je

(1, 0 |  1, 0)
(1, a |  0, 1)

(-1)*násobek 1.řádku přičteme k 2.řádku

(1, 0 |  1, 0)
(0, a | -1, 1)

2.řádek vydělíme a

(1, 0 |     1,   0)
(0, 1 | -1/a,1/a)

Matice přechodu od báze (1, x) k bázi (1, x-a) je

(    1,   0)
(-1/a, 1/a)

Nebo

1/a * (  a,0)
         (-1,1)

Matice přechodu od báze (1, x-a) k bázi (1, x) je inverzní matice

(    1,    0 | 1, 0)
(-1/a, 1/a | 0, 1)

(-1/a) násobek 1.řádku přičteme k druhému

(1,    0 |     1, 0)
(0, 1/a | -1/a, 1)

2.řádek vynásobíme „a“

(1,    0 |     1, 0)
(0,    1 |   -1,  a)


Matice přechodu od báze (1, x-a) k bázi (1,x) je

( 1, 0)
(-1, a)

Zkouška: součin matic přechodu musí dát jednotkovou matici

(    1,   0)  *  ( 1, 0)  =  (1, 0)
(-1/a, 1/a)     (-1, a)      (0, 1)

Maticemi přechodu jsou tedy skutečně matice

(    1,   0)
(-1/a, 1/a)

Resp.

( 1, 0)
(-1, a)

*
*
Polynom stupně 2:


Báze 1, (x-a), (x-a)^2

1, (x-a), (x-a)^2
1, x-a, x^2 – 2ax +1
(1, -a, 1); (0, 1, -2a); (0, 0, 1)

( 1,  0, 0)
(-a,  1, 0)
(1,-2a, 1)

Přechod od báze (1, x, x^2), tj. {(1, 0, 0), (0, 1,0), (0,0,1)}
K bázi 1, (x-a), (x-a)^2, (x-a)^3
Tj. (1, -a, 1); (0, 1, -2a); (0, 0, 1)

( 1,  0, 0  |  1, 0,  1)
(-a,  1, 0  |  0, 1,  0)
(1,-2a, 1  |  0, 0,  1)

„a“-násobek 1.řádku přičteme ke 2.řádku:

( 1,  0, 0  |  1, 0,  1)
( 0,  1, 0  |  a, 1,   a)
(1,-2a, 1  |  0, 0,  1)

(-1)*násobek 1.řádku přičteme ke 3.řádku:

( 1,  0, 0  |  1, 0,  1)
( 0,  1, 0  |  a, 1,  a)
( 0,-2a, 1 | -1, 0,  0)

(2a)*násobek 2.řádku přičteme ke 3.řádku:

( 1,  0, 0  |            1,     0,      1)
( 0,  1, 0  |            a,     1,      a)
( 0,  0,  1 |  2a^2 -1,   2a, 2a^2)

Maticí přechodu je

(          1,    0,      1)
(         a,    1,       a)
(2a^2-1,   2a, 2a^2)

Maticí přechodu  od báze {1, (x-a), (x-a)^2, (x-a)^3} k bázi {1, x, x^2}

je inverzní matice:

(         1,    0,      1    |  1, 0, 1)
(         a,    1,       a   |   0, 1, 0)
(2a^2-1,   2a, 2a^2    |   0, 0, 1)

(-a)*násobek 1.řádku přičteme k 2.řádku

(          1,    0,      1   |  1, 0, 1)
(          0,    1,      0   | -a, 1,-a)
(2a^2-1,   2a, 2a^2  |   0, 0, 1)

(-2a^2-1)*násobek 1.řádku přičteme ke 3.řádku:
(          1,    0,      1  |           1, 0,           1)
(          0,    1,      0  |          -a, 1,          -a)
(          0,   2a,     -1 | -2a^2-1, 0,    -2a^2)

(-2a)*násobek 2.řádku přičteme ke 3.řádku:

(          1,    0,      1  |           1,    0,           1)
(          0,    1,      0  |          -a,    1,         -a)
(          0,    0,     -1  |         -1, -2a,           0)

3.řádek vynásobíme (-1)*

(          1,    0,      1  |           1,    0,           1)
(          0,    1,      0  |          -a,    1,          -a)
(          0,    0,      1  |           1,   2a,           0)


Maticí přechodu  od báze {1, (x-a), (x-a)^2, (x-a)^3} k bázi {1, x, x^2}je matice:

( 1,  0,  1)
(-a,  1, -a)
( 1, 2a,  0)

Zkouška:

(          1,    0,      1)  *  (1,  0,   1) = (       2,           2a, 1)
(          a,    1,       a)      (-a, 1, -a)    (       a,   1+2a^2, 0)
(2a^2-1,   2a, 2a^2)      ( 1,2a,  0)     (-1-2a, 2a+4a^3,  0)


Zrada!!

Součin matic nedává jednotkovou matici, ačkoli jsem důsledně překontroloval výskyt případné numerické chyby. Kde může být chyba??

Předem dík za pomoc!