Matematické Fórum

aww · 22. 11. 2014 20:09

Zdravím, jak mám řešit tuto limitu?

$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{1-x}-1}{x}$

zkoušel jsem jej roznásobit výrazem

$\frac{\sqrt[3]{1-x}+1}{\sqrt[3]{1-x}+1}$

ale moc mi to nepomohlo, nebo jsem to v tom aspoň neviděl

Freedy · 22. 11. 2014 20:20

Ahoj,

k čemu by ti to bylo, když je tam 3 odmocnina?
Zkus použít známý vzorec:
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

aww · 22. 11. 2014 20:48

čili

$a={(\sqrt[9]{1-x})}^{3}$
$b=1$

to mi nepříjde jako dobrá volba, ale nic vhodnějšího v tom nevidím

Freedy · 22. 11. 2014 20:56

Ahoj,

pokud si označíme:
$\sqrt[3]{1-x}=a$
$1=b$
potom platí:
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
v našem případě tedy:
$(\sqrt[3]{1-x}-1)(\sqrt[3]{(1-x)^2}+\sqrt[3]{1-x}+1)=1-x-1=-x$
proto musíš rozšiřovat tvoji limitu výrazem \sqrt[3]{(1-x)^2}+\sqrt[3]{1-x}+1
tedy:
$\lim_{x\to\infty }\frac{\sqrt[3]{1-x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt[3]{(1-x)^2}+\sqrt[3]{1-x}+1}{\sqrt[3]{(1-x)^2}+\sqrt[3]{1-x}+1}=\lim_{x\to\infty }\frac{-x}{x(\sqrt[3]{(1-x)^2}+\sqrt[3]{1-x}+1)}=-\lim_{x\to\infty }\frac{1}{\sqrt[3]{(1-x)^2}+\sqrt[3]{1-x}+1}$ s čímž už snad nebude problém

aww · 22. 11. 2014 21:01

Jo takhle to bylo myšleno, super děkuju :)

Matematické Fórum

#1 22. 11. 2014 20:09

limita s odmocninou

#2 22. 11. 2014 20:20

Re: limita s odmocninou

#3 22. 11. 2014 20:48

Re: limita s odmocninou

#4 22. 11. 2014 20:56

Re: limita s odmocninou

#5 22. 11. 2014 21:01

Re: limita s odmocninou

Zápatí