Matematické Fórum

IrisCZ · 22. 11. 2014 18:06

Ahoj, omlouvám se, jestli se ptám na úplnou kravinu, kterou lze spočítat jednoduše. Po celodenním učení jsem už ale trochu zmatený a s tímhle příkladem si nevím moc rady :) Potřebuji spočítat jednu část příkladu - ten obsahuje limitu, u které se x blíží k nekonečnu a jako funkce je zde výraz se stejnou mocninou a různými základy (viz níže). Jak by se taková limita počítala? Připadá mi logické, že podle toho, zda je a nebo b větší je jasné, zda bude výsledek kladné nebo záporné nekonečno. Myslím ale, že stejně by u takového příkladu měl být nějaký postup a ten mně není jasný.

$\lim_{x\to\infty}a^{x}-b^{x}$

Platí tedy že když:
$a>b \Rightarrow lim = \infty$
a
$b>a \Rightarrow lim = -\infty$
?

Předem díky za odpověď

Freedy · 22. 11. 2014 20:15

Zkus tam přidat nějaké podmínky a trochu si s tím pohrát.

Proč se ptáš jestli platí něco. Proč si to nevyzkoušíš na nějakých příkladech?
Pro mě (a zřejmě i pro mnoho ostatních) je
$1>0$
ale nepřijde mi, že by
$\lim_{x\to\infty }1^x-0^x=\infty$

IrisCZ · 22. 11. 2014 20:25

Díky za odpověď, ale potřeboval bych něco konkrétnějšího. Dejme tomu, že místo a a b bude 3 a 4. Jak bych si tohle odůvodnil u písemky? Když napíšu že
$4^{x} > 3^{x}$
a proto je limita rovna mínus nekonečno, pochybuji, že mi to uznají.

Jinak samozřejmě to s 1 a 0 je pravda. Jde mi spíš o ten správný postup. To, že je "jedno nekonečno větší než druhé" mi nikdy neuznali, vždy bylo potřeba něco vytknout, či rozšířit zlomek apod., aby to bylo jasnější.

Freedy · 22. 11. 2014 21:17 — Editoval Freedy (22. 11. 2014 21:17)

Ahoj,

je nutné tento problém rozkouskovat na vícero částí.
Začneme s tou nejjednodušší:
1)
$a,b\in (1;\infty ),a>b$ za tohoto předpokladu lze tvrdit že
$\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=\infty$
Proč? Vytknutím dominantního členu (v tomto případě a^x) dostáváme:
$\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=\lim_{x\to\infty }a^x(1-(\frac{b}{a})^x)=\lim_{x\to\infty }a^x\cdot\lim_{x\to\infty }(1-(\frac{b}{a})^x)=\infty \cdot1=\infty$

2)
$a,b\in (1;\infty ),b>a$ úplně obdobný postup, jen na konci vyjde -nekonečno.

3) $a\in (0;1),b\in (1;\infty )$
$\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=\lim_{x\to\infty }a^x-\lim_{x\to\infty }b^x=0-(\infty )=-\infty$

4) $a\in (1;\infty ),b\in (0;1)$ obdobný postup, jen s tím že vyjde +nekonečno.

5) $a,b\in (0;1)$
$\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=0$

6) $a=1$
a) $b>1$ >>> $\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=-\infty$
b) $b\in (0;1)$ >>> $\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=1$

7) $b=1$
a) $a>1$ >>> $\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=\infty$
b) $a\in (0;1)$ >>> $\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=-1$

8) $a=b=1$
$\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=0$

9) $a=b=0$
$\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=0$

10) $a=0$
a) $b>1$ >>> $\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=-\infty$
b) $b\in (0;1)$ >>> $\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=0$

11) b = 0
a) $a>1$ >>> $\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=\infty$
b) $a\in (0;1)$ >>> $\lim_{x\to\infty }(a^x-b^x)=0$

pro záporná čísla stejná teorie. Pouze s tím že když bude a nebo b menší než -1 nebude daná limita existovat.

IrisCZ · 22. 11. 2014 21:19

Mockrát děkuju, moc mi tohle pomůže :)

jarrro · 22. 11. 2014 21:33 — Editoval jarrro (22. 11. 2014 21:34)

keďže je tam x tak predpokladám, že ide o limitu funkcie teda záporné a, b sa neuvažujú potom je potrebné to rozdeliť na pár prípadov
$a=1\wedge b=0\Rightarrow\lim_{x\to\infty}{$a^x-b^x$}=1-0=1\nl a=0\wedge b=1\Rightarrow\lim_{x\to\infty}{$a^x-b^x$}=0-1=-1\nl a=b\Rightarrow \lim_{x\to\infty}{$a^x-b^x$}=\lim_{x\to\infty}{$0$}=0\nl a, b<1\Rightarrow \lim_{x\to\infty}{$a^{x}-b^{x}$}=\lim_{x\to\infty}{$a^x$}-\lim_{x\to\infty}{$b^x$}=0-0=0\nl 1\leq a< b\Rightarrow \lim_{x\to\infty}{$a^{x}-b^{x}$}=\lim_{x\to\infty}{$b^x$}\lim_{x\to\infty}{$\(\frac{a}{b}$^x-1\)}=\infty$0-1$=-\infty\nl 1\leq b< a\Rightarrow \lim_{x\to\infty}{$a^{x}-b^{x}$}=\lim_{x\to\infty}{$a^x$}\lim_{x\to\infty}{$1-\(\frac{b}{a}$^x\)}=\infty$1-0$=\infty\nl a>1\wedge b\leq 1\Rightarrow\lim_{x\to \infty}{$a^x-b^x$}=\infty-\stackrel{\in{\{0,1\}}}{c}=\infty\nl a\leq 1\wedge b> 1\Rightarrow\lim_{x\to \infty}{$a^x-b^x$}=\stackrel{\in{\{0,1\}}}{c}-\infty=-\infty$
edit: hups som to trochu dlho písal nechám to už tu

Matematické Fórum

#1 22. 11. 2014 18:06

Limita funkce s x v mocnině

#2 22. 11. 2014 20:15

Re: Limita funkce s x v mocnině

#3 22. 11. 2014 20:25

Re: Limita funkce s x v mocnině

#4 22. 11. 2014 21:17 — Editoval Freedy (22. 11. 2014 21:17)

Re: Limita funkce s x v mocnině

#5 22. 11. 2014 21:19

Re: Limita funkce s x v mocnině

#6 22. 11. 2014 21:33 — Editoval jarrro (22. 11. 2014 21:34)

Re: Limita funkce s x v mocnině

Zápatí