Matematické Fórum

Argcotgh x · 22. 11. 2014 15:52

Ahoj, už si nevím rady s dokázáním tohoto vztahu:

argtgh x = 1/2 ln (1+x)/(1-x)

už jsem prolezl všechny knihy a internet, zkoušel to počítat, ale nedobral jsem se k cíli. Mohu někoho poprosit o radu? Dík

Bati · 22. 11. 2014 16:07

Ahoj,
můžeš třeba postupovat takto:

1) Z rovnosti
$\text{tgh}\,y=\frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}$
vyjádříš $e^{2y}$ pomocí $\text{tgh}\,y$ (kvadratická rovnice),

2) Zlogaritmuješ.

3) Dosadíš $y=\text{argtgh}\,x$ .

Argcotgh x · 22. 11. 2014 16:51

Bohužel se mi nedaří dostat se k té kvadratické rovnici. Pak už to asi bude jednoduché.

Bati · 22. 11. 2014 17:57

↑ Argcotgh x:
V tom případě si tam přidej ještě krok

1,5) $z:=e^y$ .

Argcotgh x · 23. 11. 2014 10:13

Pořád se mi nějak nedaří hnout z místa. Není mi jasné to vyjádření e^2y pomocí tgh x.

Bati · 23. 11. 2014 10:38

↑ Argcotgh x:
$T:=\text{tgh}\,{y}=\frac{z-z^{-1}}{z+z^{-1}}=\frac{z^2-1}{z^2+1}$ (využívám toho, že $z=e^y>0$ pro každé y)
$Tz^2+T=z^2-1$
$(T-1)z^2=-T-1$
$z^2=\frac{1+T}{1-T}$ (využívám, že $T=\text{tgh}\,y\in(-1,1)$ pro všechny y, pak také $1+T>0$ a $1-T>0$ )
$z=\sqrt{\frac{1+T}{1-T}}$
$\ln{z}=y=\tfrac12\ln\frac{1+T}{1-T}$
...