Matematické Fórum

alfacentauri

Ahoj,
jak, se prosím řeší následující limity?
Díky.

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+[\sqrt{n}]}$
Hranaté závorky v posledním členu znamenají dolní celá část.
$\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n}-\frac{n}{2}$

Jj · 23. 11. 2014 15:26

↑ alfacentauri:

Dobrý den.

Řekl bych, že ve druhém příkladě sečíst aritmetickou řadu v čitateli a upravit.

alfacentauri · 23. 11. 2014 16:19

No jo, to mě nenapadlo.

Tzn. že čitatel se upraví na $n\frac{n+1}{2}$ a pak úpravami dostaneme, že se limita rovná $+\infty$
Děkuji.
Poradí mi ještě někdo s tou první limitou?

Jj · 23. 11. 2014 18:36 — Editoval Jj (23. 11. 2014 18:39)

↑ alfacentauri:

Možná zkusit

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+\lfloor\sqrt{n}\rfloor}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}\frac{1}{n+i}$

Takže n-tý člen posloupnosti $a_n=\sum_{i=1}^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}\frac{1}{n+i}$

Řekl bych, že platí

$0 \le \sum_{i=1}^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}\frac{1}{n+i} \le \sum_{i=1}^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}\frac{1}{n}=\frac{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}{n}\le \frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}$ pro n = 1, 2, 4, ...

Co se teď dá usoudit z toho, že $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=0\,?$

alfacentauri · 23. 11. 2014 20:03

Asi, že limita = 0

Jj · 23. 11. 2014 20:08

↑ alfacentauri:

Taky bych řekl že původní zadaná limita = 0. Je na to nějaká věta. Ovšem bylo by jistější, kdyby toto řešení ještě někdo zkontroloval.

alfacentauri · 24. 11. 2014 22:49

Teď jsem si vzpomněl, že je to věta o sevřené posloupnosti.
Určitě platí $\lim_{n\to\infty }0=0\le\lim_{n\to\infty } \sum_{k=1}^{[\sqrt{n}]}\frac{1}{n+k}\le \lim_{n\to\infty }\frac{1}{\sqrt{n}}=0$
Tzn. že i původní limita je 0.
Děkuji za nápad.

Matematické Fórum

#1 23. 11. 2014 15:09 — Editoval alfacentauri (23. 11. 2014 15:15)

Limita nekonečné posloupnosti

#2 23. 11. 2014 15:26

Re: Limita nekonečné posloupnosti

#3 23. 11. 2014 16:19

Re: Limita nekonečné posloupnosti

#4 23. 11. 2014 18:36 — Editoval Jj (23. 11. 2014 18:39)

Re: Limita nekonečné posloupnosti

#5 23. 11. 2014 20:03

Re: Limita nekonečné posloupnosti

#6 23. 11. 2014 20:08

Re: Limita nekonečné posloupnosti

#7 24. 11. 2014 22:49

Re: Limita nekonečné posloupnosti

Zápatí