Matematické Fórum

Integral123 · 21. 11. 2014 12:33

Ahoj, mam za ulohu urcit vzajomnu polohu priamok ak:
p: 5x-y-2z+11=0 , 3x+y-2z+8=0
q: x+y-z-4=0 , 3x-y-z-12=0

Vobec neviem ako na to, poradte mi prosim vas.

Rumburak

Ahoj.

Každá z těch přímek je vyjádřena pomocí dvou rovin, jejichž je průsečnicí.
Situace bude průhlednější, když přímky budou vyjádřeny parametricky.

Integral123 · 21. 11. 2014 14:05

a ako na to?

Rumburak · 21. 11. 2014 14:21

↑ Integral123:

Jaký geometrický význam mají v rovnici roviny tvaru $ax + by + cz + d = 0$ čísla $a, b, c$ ?

Honzc · 21. 11. 2014 14:23 — Editoval Honzc (21. 11. 2014 14:25)

↑ Integral123:
Zkus určit směrové vektory jednotlivých přímek

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Integral123

v tej prvej casti, ktoru autor skryl sa urcuje determinant? dobre tomu nerozumiem, vidim tam nejaku maticu a nejaky vypocet ale co sa tam vlastne pocita?

Rumburak

↑ Integral123:

Když řešíme matematickou úlohu, měli bychom pokud možno používat takový postup, kterému rozumíme.
Ten postup se složeným poměrem determinantů není příliš průhledný a patrně ho zná málokdo (já například
ho dnes vidím poprvé).

Zkus využít elementárnějších poznatků. Mám ale dojem, že v nich máš mezery, které by bylo vhodné
nejprve si doplnit.

Integral123 · 21. 11. 2014 14:48

vyuzitie akych elementarnych poznatkov navrhujete? a ake medzery mam doplnit?

Rumburak · 21. 11. 2014 15:23

↑ Integral123:

Určitě bys měl rozumět rovnici roviny - už jsem o tom psal v ↑ Rumburak: .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Je-li přímka průsečnicí dvou různoběžných rovin, potom je kolmá k normálovému vektoru každé z nich.
Takže le-li $\vec{s}$ směrový vektor té přímky a $\vec{u} , \vec{v}$ (lineárně nezáviské) normálové vektory těch rovin,
potom musí platit $\vec{u}\vec{s} = 0 , \vec{v}\vec{s} = 0$ , což nám pro tuto úlohu dává soustavu rovnic pro neznámé souřadnice
vektoru $\vec{s}$ . Rovnice jsou sice jen dvě, zatímco souřadnice tři, což znamená, že úloha nalezení vektoru $\vec{s}$
není určrna jednoznačně. Avšak jednotlivá netriviální řešení této soustavy se liší pouze nenulovým násobkem,
což odpovídá geometrické představě - nenulové vektory $\vec{s}$ , $\lambda \vec{s}$ určují v prostoru tentýž směr.

Integral123

takze ako budeme postupovat pri rieseni? nie je nahodou vektor (a,b,c) u rovnice roviny ax+by+cz+d=0 smerovy? a vy pisete ze normalovy musi byt kolmy.

Rumburak · 24. 11. 2014 11:24

↑ Integral123:

Vektor (a,b,c) u rovnice roviny ax+by+cz+d=0 je NORMÁLOVÝ vektor té roviny a je KOLMÝ k té rovině.
Pokusím se to vysvětlit.

Je-li v trojrozměrném prostoru $\mathbb{R}^3$ dán bod $P=[p, q, r]$ a nenulový vektor $\vec{n}=(a, b, c)$ , potom
existuje právě jedna rovina - označme ji $\varrho(P, \vec{n})$ , která je kolmá k vektoru $\vec{n}$ a prochází bodem $P$ .
Obecný bod $X = [x, y, z] \in \mathbb{R}^3$ bude patřit do $\varrho(P, \vec{n})$ právě tehdy, když vektory $\vec{n}, (X-P)$
budou navzájem kolmé, tj. když jejich skalární součin bude roven 0 :

(1) $\vec{n}(X-P) = 0$ .

Rozepsáním skalárního součinu v (1) postupně dostáváme

$a(x-p) + b(y-q) + c(z-r) = 0$ ,

(2) $ax + by + cz + d = 0$ ,

kde $d = -(ap + bq + cr )$ .

Tímto způsobem lze určit libovolnou rovinu v $\mathbb{R}^3$ . Rovnici (2), v níž $(a, b, c) \ne \vec{0}$ , nazýváme obecnou
rovnicí roviny. Je-li tedy rovina dána obecnou rovnici (2) , pak vektor $(a, b, c) \ne \vec{0}$ v ní hraje roli
vektoru kolmého k uvažované rovině.

Honzc · 24. 11. 2014 14:04

↑ Integral123:
Platí věta: Směrový vektor přímky určené obecnými rovnicemi (tedy jako průsečnice dvou nerovoběžných rovin) je kolineární (rovnoběžný) s vektorovým součinem normálových vektorů obou určujících rovin.
Jak už psal ↑ Rumburak: normálový vektor roviny ax+by+cz+d=0 je n=(a,b,c)
Dále vektorový součin dvou vektorů $a=(a_{1},a_{2},a_{3}),b=(b_{1},b_{2},b_{3})$ se spočítá:
$a\times b=\left(\begin{vmatrix} a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix},\begin{vmatrix} a_{3}&a_{1}\\b_{3}&b_{1}\end{vmatrix},\begin{vmatrix} a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix} \right)$
Tak spočítáš obě směrnice daných přímek.
Jejich vzájemná poloha pak může být:
a) mimoběžky
b) různoběžky (leží v jedné rovině a nejsou rovnoběžné-svírají nějaký úhel)
c) rovnoběžky (leží v jedné rovině a "svírají" nulový úhel)
Přitom pro dvě přímky (vyjádřené parametricky) $^{1}p\equiv r=r_{1}+at,^{2}p\equiv r=r_{2}+bt'$ platí:
Je-li smíšený součin
$[(r_{2}-r_{1})ab]\neq0$ -mimoběžky
$[(r_{2}-r_{1})ab]=0\wedge a\not\parallel b$ -různoběžky
$[(r_{2}-r_{1})ab]=0\wedge a\parallel b$ -rovnoběžky