Matematické Fórum

Moabiter · 16. 11. 2012 11:44

Zadání:
Každá ze 4 krabic obsahuje jistý počet vadných a bezvadných součastek. Krabice I obsahuje 2000 součastek (z toho 5% vadných), krabice II obsahuje 500 (z toho 40% vadnych) a krabice III a IV obsahuji každá 1000 součástek (z toho 10% vadných). Náhodně vybereme krabici, a potom náhodně vybereme součástku o níž zjistíme, že je vadná. Jaká je pravděpodobnost, že pochází z krabice II?

Mé řešení:
Nejprve označím jevy:
V ... vybraná součástka je vadná
K2 .. vybraná součástka pochází z krabice 2
Zajímá mne $P(K_2|V)$ tedy $P(K_2|V) = \frac{P(K_2\bigcap{}V)}{P(V)}$

$P(V)$ mohu spočítat pomocí úplné pravděpodobnosti tedy:
$P(V) = P(K_1)*P(V|K_1) + P(K_2)*P(V|K_2) + P(K_3)*P(V|K_3) + P(K_4)*P(V|K_4)$

$P(K_2\bigcap{}V)$ je vlastně $P(K_2)*P(V|K_2)$ tedy čiselně $\frac14*0.4$

Podobně bych dosadil i do zbytku a dostal bych výsledek. Hlavou mi ale vrtá, že jsem nepoužil vůbec počty kusů, které byly v zadání. A většinou, když nepoužiji něco ze zadání tak je to špatně :). Přehlídl jsem někde něco?

Pavel Brožek · 16. 11. 2012 11:51

↑ Moabiter:

Řekl bych, že to máš dobře a že počet součástek v krabicích není podstatný. :-)

zaitldav

Tady jinak:
$B_{i}$ ... je vybrána i-tá krabice
$P(B_{i}) = \frac{1}{4}$
$A|B_{i}$ ... výrobek z i-té krabice je vadný
$P(A|B_{1}) = \frac{5}{100}$
$P(A|B_{2}) = \frac{4}{10}$
$P(A|B_{3}) = P(A|B_{4}) = \frac{1}{10}$
$A$ ... vybraný výrobek je vadný (ze všech krabic)
$P(A) = \sum_{k=1}^{4} P(B_{k})\cdot P(A|B_{k})$ vzorec úplné pravděpodobnosti
$P(A) = = \frac{1}{4}\cdot (\frac{5}{100}+\frac{4}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}) = \frac{13}{80}$
$B_{i}|A$ ... vadný výrobek je z i-té krabice

k vypočítání $P(B_{i}|A)$ použijeme Bayesovu větu
$http://upload.wikimedia.org/math/d/3/c/d3c7c452b3d01f5415dd9bf15d2ab822.png$ z wikipedie, kryje se to s mým značením, tak pozor.

tedy

$P(B_{i}|A) = \frac{P(A|B_{i})\cdot P(B_{i})}{P(A)}$

výsledek je teda
$P(B_{2}|A) = \frac{\frac{4}{10}\cdot \frac{1}{4}}{\frac{13}{80}} = \frac{8}{13}$

Pavel Brožek · 24. 11. 2014 19:07

↑ zaitldav:

V čem je uvedené řešení špatně? Vždyť vede ke stejnému výsledku jako to tvé (taky správné), navíc má přehlednější značení a nevyužívá explicitně Bayesovu větu, jen používá postup, který se používá při důkazu Bayesovy věty.

zaitldav

Jo, vidíš, už jsem si všiml, že to není kompletní (nebylo dosazeno do toho vzorce), pak to vyšlo dobře, jen to není dokončené.
Svůj příspěvěk upravím.

Matematické Fórum

#1 16. 11. 2012 11:44

Podmíněná pravděpodobnost - krabice a vadné kusy

#2 16. 11. 2012 11:51

Re: Podmíněná pravděpodobnost - krabice a vadné kusy

#3 24. 11. 2014 14:16 — Editoval zaitldav (24. 11. 2014 21:50)

Re: Podmíněná pravděpodobnost - krabice a vadné kusy

#4 24. 11. 2014 19:07

Re: Podmíněná pravděpodobnost - krabice a vadné kusy

#5 24. 11. 2014 21:32 — Editoval zaitldav (24. 11. 2014 21:49)

Re: Podmíněná pravděpodobnost - krabice a vadné kusy

Zápatí