Matematické Fórum

kukulkan · 21. 02. 2009 09:51

potřebuji poradit, mám úlohu: je dán trojúhelník o stranách 8,9,10cm. o kolik cm je třeba všechny strany zkrátit, aby z nich bylo možno sestrojit trojúhelník pravoúhlý.

Pavel Brožek · 21. 02. 2009 10:04

Nové strany budou mít délky 8-x, 9-x a 10-x. V pravoúhlém trojúhelníku musí platit Pythagorova věta. Stačí takhle?

Chrpa · 21. 02. 2009 10:05

↑ kukulkan:
Všechny strany zkrátíš o x cm.
Pak lze sestavit rovnici:
$(8-x)^2+(9-x)^2=(10-x)^2\nlx^2-14x+45=0\nlx_1=9\,\textrm{ne}\nlx_2=5\,\textrm{cm}$

Všechny strany zkrátíme o 5 cm a dostaneme trojúhelník se stranami: 3, 4, 5 což je opravdu pravoúhlý trojúhelník

ttopi · 21. 02. 2009 10:07

Potřebujem dostat taková čísla, aby platila Pythagorova věta, měli bychom ve výsledku dostat Pythagorejská čísla.

zrkácení označíme jako x a pak musí platit $(8-x)^2+(9-x)^2=(10-x)^2$

Když si to celé roznásobíš a sečteš co se dá, povede to na kvadratickou rovnici, kterou vyřešíš pomocí diskriminantu.

Mě vyšlo

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Julo88 · 23. 02. 2009 22:30

(8-x)^2+(9-x)^2=(10-x)^2 pls muze te mi to spocita do potrobna!

gadgetka · 23. 02. 2009 23:52

Julo88 napsal(a):
(8-x)^2+(9-x)^2=(10-x)^2 pls muze te mi to spocita do potrobna!

$(8-x)^2+(9-x)^2=(10-x)^2\nl64-16x+x^2+81-18x+x^2=100-20x+x^2\nl2x^2-34x+145=100-20x+x^2\nlx^2-14x+45=0\nlx_{1,2}=\frac{14\pm{\sqrt{196-180}}}{2}=\frac{14\pm{4}}{2}\nlx_1=9\nlx_2=5$

Denisator · 03. 03. 2009 22:05

Zdravim, mam problem s trojuholnikom, V rozvnoramennom trojuholniku ABC, zo zakladnou AB, Vc=8cm, polomer kruznice vpisanej p=3cm. AB=?? Dakujem

Olin · 03. 03. 2009 22:30

Označme S střed kružnice vepsané. Protože ten leží na průsečíku os úhlů, platí, že velikost úhlu ABC je dvojnásobkem velikosti úhlu ABS. Platí tedy

$\frac c2 \cdot \mathrm{tg}\beta = v_c\nl \frac c2 \cdot \mathrm{tg}\frac{\beta}{2} = \rho$

Při dalším řešení doporučuji využít toho, že
$\mathrm{tg}\beta = \frac{2 \cdot \mathrm{tg}\frac{\beta}{2}}{1 - \mathrm{tg}^2 \frac{\beta}{2}}$

Z toho pak dostaneš $\mathrm{tg}\frac{\beta}{2}$ , z čehož už jednoduše určíš c.

Chrpa · 03. 03. 2009 22:35 — Editoval Chrpa (03. 03. 2009 22:51)

↑ Denisator:
Pro poloměr kružnice vepsané ró platí vztah
$\rho=\frac{S}{s}$ kde S je obsah trojúhelníku a s je: $s=\frac{a+b+c}{2}$
V našem případě je $s=\frac{2a+c}{2}$ a $S=\frac{8c}{2}$ v_c = 8 (dle zadání)
Dále z Pythagorovy věty platí: (jde o rovnoramenný trojúhelník)
$\frac{c^2}{4}+8^2=a^2$ - úpravou
$a=\frac{\sqrt{c^2+256}}{2}$
$3=\frac{8c}{2a+c}$ - úpravou (poloměr kružnice vepsané je dle zadání 3 cm)
$a=\frac{5c}{6}$
$\frac{\sqrt{c^2+256}}{2}=\frac{5c}{6}\nl25c^2=9\cdot 256+9c^2\nl16c^2=9\cdot 256\nl4c=3\cdot 16\nlc=12$

AB je 12 cm