Matematické Fórum

kexholm

Ahoj, mám řadu $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+cos(2n)}$

V první řadě myslím že je potřeba ověřit jestli konverguje absolutně, no od oka je vidět že to tak je, prozatím bych to mohla omezit $|\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+cos(2n)}|\le \sum_{n=\varepsilon \gg 1}^{\infty}\frac{1}{2n+1}$ . Znaménko zahodím z absolutní hodnoty, kosínus nám tam bude jen tak trochu "vibrovat", přidám jedničku a tím zaručím že to bude menší. A protože to je jinak geometrická řada (jen s nějakým posunutím a zvětšením "amplitudy") tak bych řekla že to konverguje.

No a ještě je tu ta neabsolutní konvergence. No tam by vlastně mohla konvergovat, ale to se dostáváme do nějakých přerovnání řad a to jsem moc nepochytila. Můžete mi to někdo prosím vysvětlit? A ten postup nahoře co na něj říkáte?

Děkuju moc předem.

EDIT:
Aha tak tohle bude na leibnizovo kritérium :) Už to skoro mám... myslím

Rumburak

↑ kexholm:

Ahoj.

1) K té absolutní konvergenci by bylo potřeba dokázat, že konverguje řada $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+\cos(2n)}$ ,
jejíž včechny členy jsou kladné. Srovnání s divergentní harmonickou řadou $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ však ukáže,
že tomu tak není. (Viz limitní srovnávací kriterium.)

2) Pokud jde o neabsolutní konvergenci: jde o oscilující řadu, u níž limita n-tého členu je 0. Nabízí se proto
vyzkoušet Leibnizovo kriterium. Ukaž, že posloupnost $(a_n)$ , kde $a_n := \frac{1}{2n+\cos(2n)}$ , je nerostoucí
(alespoň od jistého indexu výše).

kexholm · 25. 11. 2014 12:24

Ahoj, už to mám a přesně tak jsem to udělala :) Sice mám hnusný zápis ale no... pak pošlu co jsem zbastlila.

Matematické Fórum

#1 25. 11. 2014 00:50 — Editoval kexholm (25. 11. 2014 11:27)

Konvergence řady III

#2 25. 11. 2014 11:31 — Editoval Rumburak (25. 11. 2014 16:53)

Re: Konvergence řady III

#3 25. 11. 2014 12:24

Re: Konvergence řady III

Zápatí