Matematické Fórum

jan019 · 25. 11. 2014 01:19

Ahoj,

Potřeboval bych poradit s příkladem.
Najděte bázi a spočtěte dimensi lineárního prostoru těch polynomů nejvýše 2. stupně, které mají stejné souřadnice vzhledem k bázi $(B) = (2x^{2} + 2x+2, x+1, 2x^{2} +4x+2)$ jako k bázi $(F) = (x^{2} + x + 1, x^{2} + 1, x^{2} + x).$

Vůbec nemám tušení, kde začít. Děkuju.

Hozna

Rumburak · 25. 11. 2014 11:54

↑ jan019:

Ahoj.

Když polynom $f$ stupně nejvýše 2 vyjádříme v bázi $(B) = (2x^{2} + 2x+2, x+1, 2x^{2} +4x+2)$ ,
obdržíme

(1) $f(x) \equiv a(2x^{2} + 2x+2) + b(x+1) + c(2x^{2} +4x+2)$

pro vhodá čísla $a, b, c$ .

Když tentýž polynom vyjádříme v bázi $(F) = (x^{2} + x + 1, x^{2} + 1, x^{2} + x)$ , obdržíme

$f(x) \equiv \alpha (x^{2} + x + 1) + \beta (x^{2} + 1) + \gamma (x^{2} + x)$

pro vhodá čísla $\alpha, \beta, \gamma$ .

Nás zajímají takové polynomy $f$ , pro něž $a = \alpha, b = \beta, c = \gamma$ , takže vedle (1) musí platit i

(2) $f(x) \equiv a (x^{2} + x + 1) + b (x^{2} + 1) + c (x^{2} + x)$ .

Porovnáním zápisů (1), (2) dostaneme soustavu lin. rovnic s neznámými $a, b, c$ .

jan019 · 25. 11. 2014 22:12 — Editoval jan019 (25. 11. 2014 22:13)

↑ Rumburak:

Super, díky. Jenom abych se ujistil o postupu.

Na jednu stranu rovnice dám (1), na druhou (2). Odečtu od sebe členy se stejnými koeficienty ==> z toho mně vyšlo $a(x^{2}+x+1)+b(-x^{2}+x)+c(x^{2}+3x+2)$ . Poté si vytovřím matici 1 1 1
-1 1 0
1 3 2

přičmež každý řádek je roven nule. Po vyřešení matice zjistím, že exisujte nekonečně mnoho řešení, Zovlím např. řešení c = 2, b = -1, a = -1. A tyhle koeficient dosadím zpátky za $a(x^{2}+x+1)+b(-x^{2}+x)+c(x^{2}+3x+2)$ , čímž dostávám hledaný polynom $f(x) = -(x^{2} + x+1, x^{2}-x,2x^{2} +6x+4)$ .
Pochopil jsme to správně nebo někde děláme chybu? Díky.

Honza

Rumburak · 26. 11. 2014 09:39

↑ jan019:

Obávám se, že tato cesta není správná, nebo jí nerozumím. Matice bych do toho prozatím nezatahoval,
k tomu bude příležitost později.

Na jednu stranu rovnice dám (1), na druhou (2).

To je ještě správně. Dostaneme tak rovnici

$a(2x^{2} + 2x+2) + b(x+1) + c(2x^{2} +4x+2) = a (x^{2} + x + 1) + b (x^{2} + 1) + c (x^{2} + x)$ .

Tu upravíme ji do tvaru

(3) $A(a,b,c) x^2 + B(a,b,c) x + C(a,b,c) = 0$ ,

kde $A, B, C$ jsou lineární funkce proměnných $a, b, c$ .

Chceme, aby rovnice (3) byla splněna pro každé x, což znamená, že musí být splněna soustava

$A(a,b,c) = 0 ,\\B(a,b,c) = 0,\\C(a,b,c) = 0$

s neznámými $a, b, c$ .

Dimense prostoru jejích řešení bude odpovídat dimensi prostoru polynomů, které splňují (1) a zároveň (2).

Matematické Fórum

#1 25. 11. 2014 01:19

Souřadnice báze

#2 25. 11. 2014 11:54

Re: Souřadnice báze

#3 25. 11. 2014 22:12 — Editoval jan019 (25. 11. 2014 22:13)

Re: Souřadnice báze

#4 26. 11. 2014 09:39

Re: Souřadnice báze

Zápatí