Matematické Fórum

rakem · 04. 03. 2009 14:22

Ahoj, potřeboval bych poradit alespoň začátek(způsob) řešení tohoto integrálu.Díky
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cint%20(%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E2%2B25%20%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%2B25%7D)$

Pavel · 04. 03. 2009 14:35

↑ rakem:

$\int\frac{x+3}{x^2+5}\,\text{d}x=\int\frac{M(2x)}{x^2+5}+\frac {N}{x^2+5}\,\text{d}x.$

Najdi M a N tak, aby rovnost platila. V prvním integrálu pak položíš substitucí $y=x^2+5$ , dostaneš z toho nějaký logaritmus. Druhý vede na arkustangens.

Ginco · 04. 03. 2009 14:38

↑ rakem:

čUS, první část integrálu bych si zkoušel převést na arctg.... vytkl bych 3 před integrál, pak bych ve jmenovateli vytkl 25, vytkl z integrálu 1/25 a výraz (x/5)^2 bych zasubstituoval jako x/5 = t .... pak dál to je už snadné

druhou část bych rovnou zasubstituoval ... x^2 + 25 = t .....2x dx = dt ....takže x dx =(dt)/2 ...pak už je to hračka

Cheop · 04. 03. 2009 14:41 — Editoval Cheop (04. 03. 2009 15:03)

↑ rakem:
$\int\frac{x+3}{x^2+25}\,\textrm{dx}=\int\frac{x}{x^2+25}\,\textrm{dx}+\int\frac{3}{x^2+25}\,\textrm{dx}$
První integrál:
$\int\frac{x}{x^2+25}\,\textrm{dx}$ substituce $x^2+25=t\nl2x\textrm{dx}=\textrm{dt}$
$\int\frac{x}{x^2+25}\,\textrm{dx}=\int\frac{x\textrm{dt}}{2x\cdot t}=\frac 12\int\frac{\textrm{dt}}{t}=\frac 12\,\ln|t|=\frac 12\,\ln|x^2+25|$
Druhý integrál:
$\int\frac{3}{x^2+25}\,\textrm{dx}=3\int\frac{1}{x^2+25}\,\textrm{dx}$ substituce $x=5t\nl\textrm{dx}=5\textrm{dt}$
$3\int\frac{1}{x^2+25}\,\textrm{dx}=3\int\frac{5\textrm{dt}}{25t^2+25}=\frac{15}{25}\int\frac{\textrm{dt}}{t^2+1}=\frac 35\,\arctan\,{t}=\frac 35\,\arctan\,{\frac x5}$
Celý výsledek je:
$\frac 12\,\ln|x^2+25|+\frac 35\,\arctan\,{\frac x5}+C$

Doufám, že jsem to nikde neskonil.

Pavel · 04. 03. 2009 14:53 — Editoval Pavel (04. 03. 2009 14:56)

↑ Ginco:

taky moznost, vysledek vyjde uplne stejne.

$\int\frac{x}{x^2+5}\,\textrm{dx}=\frac 12\,\ln(x^2+5)+c.$

$\int\frac{3}{x^2+5}\,\textrm{dx}=\frac 3{\sqrt 5}\,\arctan\frac {x}{\sqrt 5}+c.$

Ginco · 04. 03. 2009 14:58

↑ Pavel:

jasně, neznam totiž tolik "fíglů " jako ty, takže se snažím na to přijít nějak mechanicky...každopádně dík za ujištění správnosti řešení

Ginco · 04. 03. 2009 15:00

↑ Ginco:

akorát nechápu, proč tam máš :
$\int\frac{x}{x^2+5}\,\textrm{dx}=\frac 12\,\ln(x^2+5)+c.$

a ne : $\int\frac{x}{x^2+25}\,\textrm{dx}=\frac 12\,\ln(x^2+25)+c.$

Pavel · 04. 03. 2009 15:05

↑ Ginco:

moje chyba: Pořád tam vidím pětku :-)

$\int\frac{x}{x^2+25}\,\textrm{dx}=\frac 12\,\ln(x^2+25)+c.$

$\int\frac{3}{x^2+25}\,\textrm{dx}=\frac 35\,\arctan\frac x5+c.$

rakem · 04. 03. 2009 15:12

Děkuju za pomoc.:)

Matematické Fórum

#1 04. 03. 2009 14:22

Integrál

#2 04. 03. 2009 14:35

Re: Integrál

#3 04. 03. 2009 14:38

Re: Integrál

#4 04. 03. 2009 14:41 — Editoval Cheop (04. 03. 2009 15:03)

Re: Integrál

#5 04. 03. 2009 14:53 — Editoval Pavel (04. 03. 2009 14:56)

Re: Integrál

#6 04. 03. 2009 14:58

Re: Integrál

#7 04. 03. 2009 15:00

Re: Integrál

#8 04. 03. 2009 15:05

Re: Integrál

#9 04. 03. 2009 15:12

Re: Integrál

Zápatí