Matematické Fórum

Callme · 26. 11. 2014 11:51 — Editoval Callme (26. 11. 2014 12:17)

Cavte ako vyriesim ulohu
Urcte Maclaurinov polynóm $T_{12}(x)$ stupna $12$ pre funkciu $f(x) = cos (x^{3}), x\in R$ .
Ako vyriesim tuto ulohu tak aby som nemusel derivovat 12 funkcii $cos (x^{3})$ co zaberie par stran?
Pouzijem substituciu $s=x^{3}$ cize $\cos (s)$ ?

Rumburak

↑ Callme:

Ahoj.

Platí věta:

Jestliže na některém intervalu $(-c, c)$ , kde $c > 0$ , je řada

(1) $\sum_{k=0}^{+\infty}a_k x^k$

konvergentní k součtu $f(x)$ , potom jde o MacLaurinovu řadu funkce $f$ .

Můžeme využít této věty spolu se znalostí MacLaurinovy řady funkce $x \mapsto \cos x$ .

Callme · 26. 11. 2014 12:44

Neda sa to vyriesit tak ze najprv vyuzijem substituciu a potom tu radu $http://upload.wikimedia.org/math/3/8/b/38b2dbacc20b57e42fb096d63e9b6a2b.png$ ?

vanok · 26. 11. 2014 14:19

Ahoj,
Je uzitocne poznat vety na tuto temu.
Lopatisticka odpoved...( pozri teoriu: Mc polynom a zlozene funkcie)
V tvojom pripade mozes vyuzit Mc polynom ° 12, pre cos x, a potom hladany polynom $T_{12}(x)$ dostanes ze nahradis x, v Mc pol. pre cos x z clenom $x^3$ ale tak ze pri vypocte ignorujes vsetky x co maju vyssiu mocninu ako 12.

Callme · 26. 11. 2014 15:09 — Editoval Callme (26. 11. 2014 15:28)

↑ vanok:
Ked pouzijem namiesto $cos(x^{3})$ funkciu $cos(x)$ tak tym nevyuzivam substituciu a to co bude mat mocninu väcsiu ako 12 tak bude zvyskom?

vanok · 26. 11. 2014 15:58

↑ Callme:
V tvojom cvicenie sa hovori len o polynôme, zvysok od teba, v tomto cviceni, nie je ziadany.
(Ak chces dokazat takyto vysledok, to najdes v bezny y knihach, a iste aj v tvojich materialoch).

Napis pre kontrolu tvoje riesenie tohto cvicenia.

Callme · 26. 11. 2014 22:33

$x=x^3$
Pre $cos(x)$ bude taky polynom $T_{12}(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}...$
Pre $cos(x^3)$ bude taky polynom $T_{12}(x)=1-\frac{x^6}{2}+\frac{x^{12}}{24}$ ?

Rumburak · 27. 11. 2014 09:36

↑ Callme:

Výsledek $T_{12}(x)=1-\frac{x^6}{2}+\frac{x^{12}}{24}$ je dobře, ale cestu k němu je potřeba mírně poopravit
po formální stránce.

Není možno zde psát $x=x^3$ - to by byla rovnice s neznámou $x$ . Pro hodnoty funkce $x \mapsto x^3$
je potřeba zavést novou proměnnou, např.

(1) $y=x^3$ .

Nyní vezměme ML polynom dostatečně vysokého stupně k funkci $y \mapsto \cos y$ , třeba

$1-\frac{y^2}{2}+\frac{y^4}{24}-\frac{y^6}{720}$ .

Sem dosadíme z (1)a máme

$1-\frac{x^6}{2}+\frac{x^{12}}{24}-\frac{x^{18}}{720}$ ,

což je ML polynom funkce $x \mapsto \cos x^3$ st. 18. Nás zajímá ML polynom st. 12, tedy

$1-\frac{x^6}{2}+\frac{x^{12}}{24}$ .

Třeba tak.

vanok · 27. 11. 2014 10:22 — Editoval vanok (27. 11. 2014 10:29)

CPozdravujem ↑ Rumburak:,↑ Callme:
Prave som cital posledne prispevky, a prispevok kolegu ↑ Rumburak: je prakticky co by com poznamenal.
Asi ide o preklep v ↑ Callme:, kde si myslim ze podla tvojho uvodneho prispevku si chcel napisat : na prvom riadku $s=x^3$
Tiez na druhom si iste chcel pisat vsetko z s, miesto x, co konecne da hladany vysledok ktory si napisal na poslednom riadku.
To vsetko vdaka teorii limitovanych rozvojov zlozenych funkcii... Ktoru naznacil aj kolega ↑ Rumburak: v poslednej casti jeho prispevku.

Vo sk a cz nepoznam ziadny text na tu temu. Napr v fr ( ako aj egl.) je plno takych praktickych textov ( na urovni prveho rocnika univerzity). Nahodne klik na Google da http://www.math.univ-toulouse.fr/~mlutz … imites.pdf co ti moze pomoct napisat dokaz pouzitej vety, ak by si to raz potreboval.

Matematické Fórum

#1 26. 11. 2014 11:51 — Editoval Callme (26. 11. 2014 12:17)

Maclaurinov polynóm

#2 26. 11. 2014 12:23 — Editoval Rumburak (26. 11. 2014 14:20)

Re: Maclaurinov polynóm

#3 26. 11. 2014 12:44

Re: Maclaurinov polynóm

#4 26. 11. 2014 14:19

Re: Maclaurinov polynóm

#5 26. 11. 2014 15:09 — Editoval Callme (26. 11. 2014 15:28)

Re: Maclaurinov polynóm

#6 26. 11. 2014 15:58

Re: Maclaurinov polynóm

#7 26. 11. 2014 22:33

Re: Maclaurinov polynóm

#8 27. 11. 2014 09:36

Re: Maclaurinov polynóm

#9 27. 11. 2014 10:22 — Editoval vanok (27. 11. 2014 10:29)

Re: Maclaurinov polynóm

Zápatí