Matematické Fórum

stenly · 29. 11. 2014 07:19

Dobré ráno,prosím Vás o radu,jak znázornit množiny v následujících příkladech ::Znázorněte množiny Ω a f(Ω) = {f(z) : z ∈ Ω}, je-li :
a) Ω = U(1, 2), f(z) := 1 − 2iz;
b) Ω = {z ∈ C : Re z < 1}, f(z) := (1 + i)z + 1;
c) Ω = U(1, 2), f(z) := 1/z

d) Ω = U(1, 2), f(z) := 2iz/z+3

e) Ω = U(1, 2), f(z) := z−1/2z-6

f) Ω = {z ∈ C : Re z < 1}, f(z) := 1/z

g) Ω = {z ∈ C : Re z < 1}, f(z) := z/z-1+i

Nejedná se mi o vyřešení všech ,ale jen typově jednoho příkladu,abych měl představu,v čem spočívá technika zobrazení daných množin.Komplexní analýzu docela zvládám,až na tento druh zobrazení množiny,u kterého se bohužel nechytám.Díky za pomoc.

bedrnik · 29. 11. 2014 16:27

Dobrý den,

Funkce ve všech cvičeních lze rozložit na složeniny sčítání, násobení či dělení, takže by mělo být možné cvičení řešit na základě geometrické interpretace těchto jednoduchých operací.

Jako příklad zkusím g):

Máme $f(z) = \frac{z}{z-1+i} = 1 + \frac{1-i}{z-1+i}$ , takže můžeme rozepsat $f$ jako:

$z \mapsto z - 1 + i \mapsto \frac{1}{z - 1 + i} \mapsto \frac{1 - i}{z - 1 + i} \mapsto 1 + \frac{1 - i}{z - 1 + i}$ .

První zobrazení, $w \mapsto w - 1 + i$ , zobrazuje $\{ \Re e \, z < 1 \}$ na $\{ \Re e\, z < 0 \}$ .

Druhé zobrazení, $w \mapsto 1/w$ , zachovává $\{ \Re e \, z < 0 \}$ .

Třetí zobrazení, $w \mapsto (1-i)w$ , zobrazuje $\{ \Re e \, z < 0 \} = \{ \arg z \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \}$ na $\{ \arg z \in (\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}) \} = \{ x+ iy \mid x < y \}$ .

Poslední zobrazení, $w \mapsto w + 1$ , zobrazuje $\{ x+ iy \mid x < y \}$ na $\{ x + iy \mid x < y+1 \}$ .

Takže $f(\Omega) = \{ x + iy \mid x < y+1 \}$ .

vanok · 29. 11. 2014 16:30 — Editoval vanok (29. 11. 2014 16:35)

Ahoj ↑ stenly:,
Najprv mala otazka: kto, co je U(1,2)?

V tvojich cviceniach vseobecne ide o linearne, ale linearne fraktionarne trasformacie=Möebusove transformacie.
Iste ste videli ze vsetki taketo transformacie su zlozene vdaka niekolkym znamych transformacii ( ktorym?) ktore ste povinne podrobne studovali.

V principe na riesenie takychto cviceni sa urcia hranice obrazu, a jeho vnutorne body.

Dobre pokracovanie.

Edit Uzitocne citanie.
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Möbius_transformation

stenly · 29. 11. 2014 17:08 — Editoval stenly (29. 11. 2014 17:59)

↑ bedrnik:Děkuji,i když tomu bohužel vůbec nerozumím.

stenly · 29. 11. 2014 17:09

↑ vanok:Děkuji

bedrnik · 29. 11. 2014 19:42

↑ stenly:

Postup, o kterém jsem psal, je založený na tom, že $f$ lze napsat ve tvaru $f(z) = f_4(f_3(f_2(f_1(z))))$ , kde

$f_1(z) = z -1 + i$ ,

$f_2(z) = 1/z$ ,

$f_3(z) = (1-i)z$ ,

$f_4(z) = z + 1$ .

Potom lze snadno určit postupně $f_1(\Omega)$ , $f_2(f_1(\Omega))$ , $f_3(f_2(f_1(\Omega)))$ a nakonec $f(\Omega) = f_4(f_3(f_2(f_1(\Omega))))$ .