Matematické Fórum

kolejo · 20. 11. 2014 12:41

Dobrý den,
OT: po půlhodině hledání texovského "m" v kroužku to vzdávám, budu psát (m), pokud to někdo umíte napsat sem do fóra, prosím.

Na netu moc materiálu o (m) součinu není a tak uvedu dvě pdf, tedy hledá se odborník na (m) :)
[1] http://www.liafa.jussieu.fr/~jep/PDF/Malcev.pdf
[2] http://cmup.fc.up.pt/cmup/jalmeida/prep … bility.pdf
přičemž postupuji podle definice toho druhého textu "On the irreducibility of pseudovarieties..."

$\text{Def Buď V pseudovarieta pologrup.}$
$\text{Homomorfimus } \varphi :S \rightarrow T \text{ mezi dvěma konečnými pologrupami }$
$\text{nazýváme V-homomorfismus, pokud pro každý }$
$\text{idempotentní prvek } e\in T \text{ platí } \varphi^{-1}(e)\in V$

$\text{Def Mal'cev součin V(m)W}$
$\text{je pseudovarieta generovaná všemi pologrupami } S \text{ pro které }$
$\text{existuje V-homomorfimus } \varphi:S\rightarrow T$
$\text{do pologrupy } T \in W$

Pseudovarieta V je Mal'cev idempotent, pokud V(m)V=V
Následující pseudovariety jsou "zřejmě" (m) idempotentní:
(takovou tu fajn závorku jako v [2] taky neumim)

$B: \text{bandy } x^2=x$
$Sl: \text{polosvazy } x^2=x \text{; } xy=yx$
$LZ: \text{left zero } xy=x$
$RZ: \text{rightzero } xy=y$
$RB: \text{rektangulární bandy } xyx=x$
$N: \text{nilpotentní } x^{\omega }=0$
$K: \text{reverse definite } x^{\omega}y=x^{\omega}$
$J: \mathscr{J}\text{-triviální } (xy)^{\omega}x=(xy)^{\omega}=y(xy)^{\omega}$
$A: \text{aperiodické } x^{\omega + 1}=x^\omega$

K tomu bych se ještě dostal, ale více mě zajímá asociativita.
Prý platí jen jedna inkluze:
$U(m) \text{ }(V(m)W) \subseteq (U(m)V)\text{ }(m)W$

(odborník na tex nejsem, prosím, omluvte případné hnusy)

Nyní bych rád rozluštil, co tato inkluze říká. Pokud na to budu nakonec sám, tak se to tady pokusím postupně rozkrývat.

Buď S konečná pologrupa, která patří do levé strany:
$S \in U(m) \text{ }(V(m)W)$
Chceme pak ukázat, že bude platit aji:
$S \in (U(m)V)\text{ }(m)W$

$S \in U(m) \text{ }(V(m)W) \Rightarrow$
$\exists \varphi:S \rightarrow T, \varphi \text{ je U-homomorfimus}$
$\text{kde } T \in V(m)W \text{, tedy } \exists \psi :T\rightarrow R, R\in W, \psi \text{ V-homomorfimus}$

$S \in (U(m)V)\text{ }(m)W \Rightarrow$
$\exists \sigma :S \rightarrow T, T \in W, \sigma \text{ je U(m)V-homomorfimus, }$
$\text{tedy pro } \{e\in T: e^2=e\} \text{...e z E(T)...platí }$
$\sigma ^{-1}(e) \in U(m)V \text{ jinými slovy }$
$\exists \tau :\sigma ^{-1}(e) \rightarrow Q, Q\in V, \tau \text{ je U-homomorfismus }$

Díky,
kolejo

kolejo · 24. 11. 2014 10:58

Rozepisoval jsem si to znovu (asociativitu) a opravdu nevím, jak to do toho vložit a proč nebude platit ta druhá implikace.

Tak aspoň krátké zamyšlení nad (m) idempotentem Sl (polosvazy)
Sl (m) Sl = Sl
jedna inkluze jasná
z té druhé... nechť S patří do Sl(m)Sl
Pak máme phi: S -> T homomorfismus, T polosvaz, takže vzory všech prvků polosvazu T (protože všechny jsou idempotentní) v homomorfimus phi jsou polosvazy.
Je S polosvaz? To nás teď přece zajímá.
Vezměme za T polosvaz {1,0}. Polosvaz, který je vzorem jedničky označím A, pro nulu to bude B.
Pologrupa S pak bude sjednocení A a B, kde A je nad B a a*b patří do B, b*a taky. b1*b2 v B, a1*a2 jasně v A. Pak S je polosvaz a tedy patří do Sl, tedy Sl je skutečně (m)-idempotent

Je tato úvaha správná?

Je fajn si s tím lámat hlavu, za pár dní už v tom bude snad jasno.

OiBobik

↑ kolejo:

Ahoj,

zkusím tu inkluzi, co má platit.

0) předpokládám, že pseudovarieta generovaná množinou/třídou $\mathcal{A}$ je $\mathbb{H}\mathbb{S}\mathbb{P}_{fin}(\mathcal{A})$ , je to tak?

1) Ověřme inkluzi na generátorech variety. Tj. vezměme generátor variety $S \in \mathcal{U}\textcircled{m}(\mathcal{V}\textcircled{m}\mathcal{W})$ . Tedy máme $\mathcal{U}$ -homomorfismus $S\stackrel{\varphi}{\longrightarrow}T$ , kde $T \in \mathcal{V}\textcircled{m}\mathcal{W}$ .

Co to znamená, že $T \in \mathcal{V}\textcircled{m}\mathcal{W}$ : to je, že $T \in \mathbb{H}\mathbb{S}\mathbb{P}_{fin}(\mathcal{A})$ , kde $\mathcal{A}$ je generující množina $\mathcal{V}\textcircled{m}\mathcal{W}$ z definice.

Tedy: existují $A \leq \prod_{i=1}^k X_i$ a kongruence $\sim$ na $A$ , že $T=A/\sim$ a $X_i, \;\; i=1,2, \dots, k$ jsou generátory $\mathcal{V}\textcircled{m}\mathcal{W}$ z definice.

Tedy existují $\mathcal{V}$ -homomorfismy $X_i \stackrel{\psi_i}{\longrightarrow}W_i$ s $W_i \in \mathcal{W}, \;\;i=1,2, \dots, k$ .

2) To je trochu komplikované, tak se to pokusme zredukovat. Nejprve zkusíme zapomenout na produkt, tj nahlédnout, že pokud byly $X_i$ generátory $\mathcal{V}\textcircled{m}\mathcal{W}$ z definice, pak i jejich součin je takovým generátorem.

Jinými slovy, uvažme
$\prod_{i=1}^k X_i\stackrel{\prod_i \psi_i}{\longrightarrow} \prod_{i=1}^k W_i,$

tj. zobrazení definované předpisem $(x_1, \dots, x_k) \mapsto (\psi_1(x_1), \dots, \psi_k(x_k))$ . To je zřejmě stále homomorfismus. Chceme však, že je to $\mathcal{V}$ -homomorfismus. Předně $\prod_{i=1}^kW_i \in \mathcal{W}$ , jelikož $\mathcal{W}$ je uzavřeno na konečné součiny. Nechť dále $(e_1, \dots, e_k) \in \prod_{i=1}^kW_i$ je idempotent, což je ekvivalentní tomu, že každý $e_i$ je idempotent ve $W_i$ . Pak máme, že $\psi^{-1}(e_i) \in \mathcal{V}$ pro každé $i$ . Pak ovšem
$(\prod_i \psi_i)^{-1}(e_1, \dots, e_k)=\prod_{i=1}^k \psi_i^{-1}(e_i) \in \mathcal{V}$
z uzavřenosti $\mathcal{V}$ na konečné produkty.

Tedy místo součinu lze búno brát pouze jeden generátor, tj máme $T=A/\sim$ , $A \leq X$ , $X \stackrel{\psi}\longrightarrow W$ $\mathcal{V}$ -homomorfismus s $W \in \mathcal{W}$ .

Teď se zbavíme té inkluze $A\leq X$ . To je celkem přímočaré: Máme $A\stackrel{\psi\restriction_A}\longrightarrow W$ . Přitom, je-li $e \in W$ idempotent, je $\psi^{-1}(e) \in \mathcal{V}$ a pak je $(\psi\restriction_A)^{-1}(e)=\psi^{-1}(e) \cap A \in \mathcal{V}$ , jelikož $\mathcal{V}$ je uzavřená na podalgebry.

Celkem tedy lze búno předpokládat, že $T=X/\sim$ , kde máme $X\stackrel{\psi}{\longrightarrow}W$ $\mathcal{V}$ -homomorfismus s $W \in \mathcal{W}$ .

3) To už je docela dobrý: Máme

kde $\pi: x \mapsto [x]_{\sim}$ je projekce.

Teď je trik, který nevím, jak bych obcházel: Vezmeme pullback $\varphi$ a $\pi$ , tj

spolu se zobrazeními

Snadno si přitom člověk rozmyslí, že $P$ je opět pologrupa (nebo o čemže se to bavíme) a $\pi', \varphi'$ jsou homomorfismy. Taky si všimni, že $\pi'$ je surjektivní, jelikož $\pi$ je surjektivní.

Teď máme príma složeninu

a chceme teď o ní tvrdit, že je to $\mathcal{U}\textcircled{m}\mathcal{V}$ -homomorfismus. Tj. fixujme idempotent $e \in W$ . Pak $\psi^{-1}(e) \in \mathcal{V}$ , to už víme. Teď chceme ukázat, že $(\varphi')^{-1}(\psi^{-1}(e)) \in \mathcal{U}\textcircled{m}\mathcal{V}$ , jinými slovy, ideálně hledáme $\mathcal{U}$ -homomorfismus $(\varphi')^{-1}(\psi^{-1}(e)) \longrightarrow V, \; \; V \in \mathcal{V}$ . Kandidát, co máme na $V,$ je asi jasný, a sice $\psi^{-1}(e)$ (co jinýho bychom vymysleli, že).

Přitom

a jako vhodné zobrazení se nabízí opět projekce $(s, x) \mapsto x$ .

Pak je-li $x \in \psi^{-1}(e)$ idempotent, je nutně i $[x]_{\sim}$ idempotent. Tedy (teď používáme, že $\varphi$ je $\mathcal{U}$ -homomomorfismus) $\varphi^{-1}([x]_{\sim}) \in \mathcal{U}$ .

Pak ovšem $(\varphi')^{-1}(x)=\varphi^{-1}([x]_{\sim})\times\{x\} \simeq \varphi^{-1}([x]_{\sim}) \in \mathcal{U}$ . To jsme chtěli.

4) Kde tedy teď jsme, je, že máme $P \in (\mathcal{U}\textcircled{m}\mathcal{V})\textcircled{m}\mathcal{W}$ . Zbývá už jen tam dostat $S$ . Ovšem vzpomeň si, že $\pi'$ bylo surjektivní - tedy, $S$ je nějaký faktor $P$ , tedy opět v $(\mathcal{U}\textcircled{m}\mathcal{V})\textcircled{m}\mathcal{W}$ .

Uf.

Docela makačka. To máš k bakalářce nebo něčemu takovému?

kolejo · 28. 11. 2014 11:53

↑ OiBobik:

Dobrý den,
děkuju moc, ještě jsem to celý nečetl, jen jsem to proletěl, dostanu se k tomu asi až o víkendu.
Děkuju zvlášť za "emko" v kolečku.
OT: zkusím to taky $\mathcal{V}\textcircled{m}\mathcal{W}$

Ano, tohle je část mé bakalářky. Hlavním tématem je takový jiný součin a mám se podívat, jestli nějak souvisí se "známými" součiny, tak se tedy seznamuji s Mal'cevem.
Almeida píše o spoustě věcech, jak je to jasný a zřejmý. No.
Ještě se na to podívám,
pěkný víkend přeju

OiBobik

↑ kolejo:

Vpoho, já typicky tak dlouhé příspěvky zpravidla ani nečtu, takže zcela chápu. Ale když to člověk přece jen tak nějak projde, tak si uvědomí několik zakopaných psů, zejména

1) Ten součin je definovaný pomocí nějakých generátorů, takže samotná pseudovarieta je pak $\mathbb{H}\mathbb{S}\mathbb{P}_{fin}(\mathcal{A})$ , kde $\mathcal{A}$ je ta množina generátorů z definice. Takže pak už člověku nepřijde až tak divné, že projde "jen" jedna inkluze, ale spíš je mu divné, že projde vůbec nějaká inkluze.

(Viz tam ty redukce "faktor podalgebry produktu generátorů -> faktor podalgebry generátoru ->faktor generátoru", kde toho "faktor" se už člověk nezbaví a musí to obejít tím pullbackem. EDIT: možná by bylo konceptuálně lepší vzít místo daného pullbacku raději pushout z $T \stackrel{\pi}{\longleftarrow}X \stackrel{\psi}{\longrightarrow} W$ a dostat tak něco, co je v opět tím příslušným typem generátoru... nevím, jestli to bude fungovat, ale zdá se mi, že jo)

2) Je tam asi několikrát implicitně formulováno, co to ta inkluze vlastně říká (a je vidět, že to není žádný příliš kompaktní výrok) a vlastně mi přijde, že aby tomu člověk tak nějak rozuměl, tak nějakou takovou eskapádu udělat více či méně musí (opět asi největší zrada je v tom $\mathbb{H}\mathbb{S}\mathbb{P}_{fin}$ -uzávěru).

(Možná by k tomu šla přifařit nějaká pseudogeometrická intuice, ale bylo mi řečeno, že moje náhledy v univerzále jsou špatně, tak to radši zmiňovat nebudu.)

a OT:
Docela dobrý algoritmus na hledání, jak se co TeXá, je

1) googlit "Latex displaying a formula" a na wiki je celkem vyčerpávající list standardních matematických symbolů v TeXu, a když to selže, tak

2) googlit "Latex <what I want to be able to TeX>"

Např. to m v kolečku jsem našel díky "latex letters in cicles".

Jo a ještě dodatek: Ten konec jsem psal někdy o půl jedné ráno, takže když ti tam něco bude připadat blbě, je dost dobře možné, že to tak bude. Ale když jsem to psal, tak jsem byl docela přesvědčen, že to takto projde.

kolejo · 28. 11. 2014 17:15

↑ OiBobik:
:)

no a při tom všem přemýšlím jenom nad tímto: "jak to víte?"
Nemusíte reagovat.

Tenhle Váš 12.18 příspěvek jsem si teda přečetl celý.
Já se na ten hlavní a krásný první, těším se na to. (fakt jsem nečekal, že se někdo ozve)

OT: Na to TeXování...ano,

po půlhodině hledání texovského "m" v kroužku to vzdávám, budu psát (m), pokud to někdo umíte napsat sem do fóra, prosím

Hledal jsem to stejně tak a našel jsem pár rad, jak se to dělá. Když jsem to ale napsal do toho pole tady vpravo,
pod kterým je napsaný: "Náhled LaTeXového výrazu:" tak se to tam nezobrazovalo správně a nenapadlo mě to i tak zkusit. OK, jsem poučen

kolejo · 29. 11. 2014 18:55 — Editoval kolejo (29. 11. 2014 20:39)

↑ OiBobik:

Nebudu zakládat nové téma k projednání (m)-idempotentů.
Dodám to ke svému prvnímu zamyšlení ↑ kolejo:

$\mathcal{SL}\textcircled{m}\mathcal{SL}=\mathcal{SL}$
Buď S v pseudovarietě pologrup na levé straně (to s tím generováním je důležitá věc, kterou jsem si neuvědomoval)
$\varphi :S \rightarrow T$ je Sl-homomorfismus do polosvazu T. Úplně všechny prvky T jsou idempotentní, proto
$\forall x\in T:\varphi ^{-1}(x)\in Sl$
Buď a,b nějaké prvky polosvazu T takové, že a je nad b.
EDIT: pak áčka a béčka beru z A a B. A,B jsou pologrupy, které jsou vzory nějakých dvou prvků z T.
[škrtnutý text]Označím pak A a B množiny, které se zobrazují na prvky "a" a "b" respektive.[/škrtnutý text]
//(však si rozumíme)
$A\cdot B=B \cdot A=B$ čímž chci říct, že součin dvou prvků "půjde dolů"
Proto platí: $ab \in B, ba\in B$ a B je polosvaz, takže máme $baba=ba, abab=ab$
Ale ještě nevíme, jestli $ab=ba$ , víme $ab\cdot ba=ba\cdot ab$
A to je třeba ověřit. (je potřeba to ověřit ještě toto: a*ab=ab*a, b*ab=ab*b ? ono to je stejně docela zřejmý, no)
První sada:
$ab\cdot ba=ba\cdot ab \\ aba=bab \\ abab=bab \\ ab=bab \\ aba=baba=ba$

Druhá sada:
$ab\cdot ba=ba\cdot ab \\ aba=bab \\ aba=abab \\ aba=ab$

Celkem:
$ba=aba=ab \\ ab=ba$

Takže tamto S je taky polosvaz a máme hotovo.

OiBobik

↑ kolejo:
To vypadá správně... Pokud jsem teda pochopil správně, že v jednu chvíli jsi změnil značení a začal chápat $a, b$ jako prvky $A, B$ místo toho, aby to označovalo $a, b \in T$ jako na začátku. Myslím, že ty věci typu "a*ab=ab*a, b*ab=ab*b" ti vypadnou tak nějak zadarmo, když už máš tu komutativitu (ne?).

BTW: Taky bych řekl, že pokud chce člověk ověřit neplatnost té druhé inkluze, začít s nějakou idempotentní pseudovarietou bude dobrý start (tím si ovšem nejsem vůbec jist).

kolejo · 29. 11. 2014 20:33

↑ OiBobik:
Jo, pochopil jste to správně... a, b \in T jsem asi ani nemusel zavádět, stačilo říct A,B vzory dvou prvků T a...tak.
Jdu to tam trochu opravit.
Díky

No a tak áčka patří A, béčka B. A,B jsou polosvazy. a*b jsou v B, b*a je B, ale nevím, jestli se a*b=b*a.
To jsem ověřil a pak asi potřeba ověřit, že i prvek a*b komutuje se všemi prvky z A.
Už to vidím, to b*ab=ab*b je zdarma.

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2014 12:41

Mal'cev, Malcev, Maltsev product, součin

#2 24. 11. 2014 10:58

Re: Mal'cev, Malcev, Maltsev product, součin

#3 28. 11. 2014 00:45 — Editoval OiBobik (29. 11. 2014 23:09)

Re: Mal'cev, Malcev, Maltsev product, součin

#4 28. 11. 2014 11:53

Re: Mal'cev, Malcev, Maltsev product, součin

#5 28. 11. 2014 12:18 — Editoval OiBobik (28. 11. 2014 13:34)

Re: Mal'cev, Malcev, Maltsev product, součin

#6 28. 11. 2014 17:15

Re: Mal'cev, Malcev, Maltsev product, součin

#7 29. 11. 2014 18:55 — Editoval kolejo (29. 11. 2014 20:39)

Re: Mal'cev, Malcev, Maltsev product, součin

#8 29. 11. 2014 20:27 — Editoval OiBobik (29. 11. 2014 20:58)

Re: Mal'cev, Malcev, Maltsev product, součin

#9 29. 11. 2014 20:33

Re: Mal'cev, Malcev, Maltsev product, součin

Zápatí