Matematické Fórum

ewer12 · 30. 11. 2014 00:52

Úloha zní: Vhodným způsobem dokažte, že platí: $\forall n\in \mathbb{N}:2\nmid n \Rightarrow 16|(n^4-1)$ , jak bych měl postupovat? Zkoušel jsem $2\nmid n \Rightarrow n = 2k+1\Rightarrow n^4 = (2k+1)^4$ , tím pádem vím, že výsledkem je liché číslo(musím dokázat i to, že $(2k+1)^4$ je liché, nebo s tím můžu v důkazu pracovat?), což znamená, že $(2k+1)^4 - 1$ je sudé, ale jak zjistím, jeslti je dělitelné šestnácti? Díky

vanok · 30. 11. 2014 02:25

↑ ewer12:
Akoze n je neparne cislo,
rozklad $n^4-1=(n-1)(n+1)(n^2+1)$
zarucuje, ze $n^2+1$ je parne ( tak je nasobkom 2ch)
a tiez jedno z cisiel n-1, n+ 1 je delitelne 2my a druhe 4my.

To znamena, ze sucin tychto troch faktorov je delitelny 2.4.2=16 tymi.