Matematické Fórum

Fires · 30. 11. 2014 15:45

Zdravim, opět jsem se dostal do slepe ulice.

$\sum_{n=1}^{inf} \frac{n}{6^{n}}$

Pomoci podiloveho kriteria jsem zjistil ze rada konverguje q=1/6.

Ale jak urcit soucet teto rady to se mi nepovedlo :(

Pokud by byl nekdo ochotny pomoci budu vdecny.

Jj · 30. 11. 2014 16:46

↑ Fires:

Dobrý den. Řekl bych, že pro zjištění součtu

$S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{6^{n}}$ je možno pomoci si konvergentní řadou $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx^{n-1}}{6^{n}}$ - konverguje pro |x| < 6 a využít vět o integraci, derivaci mocninné řady

$\int S(x)\,dx =\int \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx^{n-1}}{6^n}\,dx=C+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{6^n}=C-\frac{6}{x-6}$

Pak $S(x) =(C+\frac{6}{x-6})'=\frac{6}{(x-6)^2}$ , což pro x = 1 dá součet původní řady $S(1)=S=\frac{6}{25}$

Matematické Fórum

#1 30. 11. 2014 15:45

Součet řady

#2 30. 11. 2014 16:46

Re: Součet řady

Zápatí