Matematické Fórum

zblamak

Zdravím,
řeším: V barelu o průměru dna 2 m je ve dně díra o průměru 2 mm. Hladina vody o hustotě
1000 kg/m3 je ve výšce 1,5 m ode dna. Za jak dlouho vyteče voda z barelu? Využijte
Toricelliho vztah pro rychlost, tj. hladina se snižuje s nulovou rychlostí.

Rychlost jsem vypočítal $v=(2hg)^(1/2)$ , což mi vyšlo 5,47m/s.
Dále jsem spočítal tlak a to $h*\varrho*g$ , což mi vyšlo 15000Pa.
A jak pokračovat dále? Využít něják Bernulliho rovnici, či tak něco?
Díky za tipy.

Emca21 · 01. 01. 2013 20:07

↑ zblamak:
Zkus si vypocitat objemovy prutok $Q_{v}=S*v$ , zjistis kolik vody utece dirou za jednotku casu. Samozrejme musis take vypocitat kolik (objem) vody mas v barelu. A pak uz neni tezke zjistit za jak dlouho bude vsechna voda pryc.

zblamak · 01. 01. 2013 21:15

Jasný, díky moc.

Ještě mám jeden:
Vypočtěte hmotnostní tok kapaliny o hustotě 1200 kg/m3 z injekční stříkačky s pístem o
průměru 10 mm a jehlou o průměru 0,2 mm. Píst je tlačen silou 5 N.

Nemáte na skladě nějáké elegantní řešení jako minule?:-)

Emca21 · 01. 01. 2013 22:22 — Editoval Emca21 (01. 01. 2013 22:39)

↑ zblamak:
Hmotnostni tok se vypocte vztahem $Q_{m}=S*v*\varrho$
Asi bych si zkusil vyjadrit v (rychlost) z Bernoulliho rovnice. Myslim, ze bys tam mel vse znat. Akorat tlak si musis dopocitat pres vzorec $p=\frac{F}{S}$

kryštof · 01. 01. 2013 23:42

↑ Emca21:
Ten objemový průtok ale není konstantní, ne? Jak se snižuje výška vodního sloupce, zmenšuje se, protože $Q_{v}=Sv=S\sqrt{2hg}$ , kde h je právě výška toho vodního sloupce.

kryštof · 02. 01. 2013 00:18

↑ Emca21:
Já myslel u toho příkladu v prvním příspěvku.

Emca21 · 02. 01. 2013 00:26

↑ kryštof:
Jo, promin.
Znas zakon spojitosti? Podle me ho tady muzes primo aplikovat. Rika, ze S*v = konst. Kdyz nezmenis prurez, nezmeni se ani rychlost. Proto bych rekl, ze ta rychlost bude stale konstantni.
Ale byl bych rad, kdyby se to k tomu vyjadril jeste nekdo jiny. Nemuzu rict, ze jsem si uplne jisty.

kryštof · 02. 01. 2013 00:35

↑ Emca21:
Ja bych řekl, že ho aplikovat nejde. Plyne to i ze zkušenosti- když máš v boku sudu díru, bude voda vytékat tím pomaleji (a stříkat do tím menší vzdálenosti), čím je volná hladina blíž k tomu otvoru. No, počkáme až se vyjádří někdo další.

Emca21 · 02. 01. 2013 00:38 — Editoval Emca21 (02. 01. 2013 00:45)

↑ kryštof:
Mas pravdu. Tak ted uz vazne nevim. :-)) I kdyz mi neco stale rika, ze ta rychlost konstantni bude :-))) Jen me ted nenapada nic jak to dokazat...

KennyMcCormick

Nebude, rychlost závisí na vzdálenosti mezi rovinou hladiny a otvorem. Klidně to experimentálně otestuj.

EDIT:
Představ si to jako vodu mizící z tenké vrstvy u hladiny, a objevující se těsně za otvorem. Potenciální energie té vody se podle zákona zachování energie změní na pohybovou energii, což ti dá výtokovou rychlost $v=\sqrt{2gh}$ .

EDIT:

Znas zakon spojitosti? Podle me ho tady muzes primo aplikovat. Rika, ze S*v = konst. Kdyz nezmenis prurez, nezmeni se ani rychlost.

Tahle rovnice platí jenom v uzavřené trubce.

EDIT:
Na druhou stranu, jestli je na střední škole, možná učitel chtěl, aby závislost rychlosti na výšce zanedbali.
Ale jestli ne, tak řešení prvního příkladu:
plocha hladiny: $S_h$
plocha díry: $S_d$
Hladina klesá k-krát rychleji, než voda vytéká dírou, $k = \frac{S_d}{S_h}$
rychlost klesání hladiny: $v_h$
počáteční výška: $h_0$
označím si $h_0-h$ jako $h_1$
$v_h = \frac{S_d}{S_h}\sqrt{2g(h_0-h_1)}$
$\frac{\operatorname{d}\!h_1}{\operatorname{d}\!t} = \frac{S_d}{S_h}\sqrt{2g(h_0-h_1)}$
$\int\frac{S_h}{S_d}\frac1{\sqrt{2g(h_0-h_1)}}{\operatorname{d}\!h_1} = \int {\operatorname{d}\!t}$
$-2\frac{S_h}{S_d}\frac1{\sqrt{2g}} \sqrt{h_0-h_1}= t + C$
z počáteční podmínky pro $h_1=0$ je $t=0$ :
$-2\frac{S_h}{S_d}\frac1{\sqrt{2g}} \sqrt{h_0}= C$
dosadím konstantu do rovnice:
$-2\frac{S_h}{S_d}\frac1{\sqrt{2g}} \sqrt{h_0-h_1}= t -2\frac{S_h}{S_d}\frac1{\sqrt{2g}} \sqrt{h_0}$
$t = -2\frac{S_h}{S_d}\frac1{\sqrt{2g}} \sqrt{h_0-h_1} + 2\frac{S_h}{S_d}\frac1{\sqrt{2g}} \sqrt{h_0}$
$t = -2\frac{\pi}{\pi*(10^{-3})^2}\frac1{\sqrt{2*9,81}} \sqrt{1,5-1,5} + 2\frac{\pi}{\pi*(10^{-3})^2}\frac1{\sqrt{2*9,81}} \sqrt{1,5}$
$t \dot= 6\operatorname{d} 9\operatorname{h} 36\operatorname{min} 41,26\operatorname{s}$

Preemptivně se zříkám zodpovědnosti za správnost výpočtu :-).

EDIT:
Vidím, že autor tématu je na VŠ, tudíž tu závislost zanedbat nemůžeme.

zblamak · 02. 01. 2013 22:26

Díky za příspěvky.
Právě to nevím-zda rešit rychlost vytíkání v závislosti na výšce, každopádně ještě jednou díky.
Řešení jsou obě, takže super!

KennyMcCormick · 02. 01. 2013 23:02

zblamak napsal(a):
Právě to nevím-zda rešit rychlost vytíkání v závislosti na výšce

ANO!

zblamak napsal(a):
Díky za příspěvky.

Nemáš zač.

MichalK94 · 30. 11. 2014 22:53

Čau, prosim Vás, nenapsal by ste sem někdo postup k tomu příkladu jak se má vypočítat hmotnostní tok injekční stříkačky ? Nějak mi to nevychází :) Děkuju mockrát.

zdenek1 · 01. 12. 2014 09:18

↑ MichalK94:
Mělo by to být jednoduše
$p=\frac12\varrho v^2$
a vynásobením $S^2$
$FS=\frac12\varrho Q^2$

Somar · 05. 01. 2015 12:43

↑ zdenek1: Mohl bych se jenom zeptat na to, o který průřez S se jedná ? Pravděpodobně to bude průřez té jehly, ale chci mít jistotu :)

zdenek1 · 05. 01. 2015 13:29

↑ Somar:
Je to síla na píst, takže to bude i plocha pístu.

Somar · 05. 01. 2015 13:53

↑ zdenek1: Jo takhle, díky!

Matematické Fórum

#1 01. 01. 2013 18:50 — Editoval zblamak (01. 01. 2013 19:41)

Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#2 01. 01. 2013 20:07

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#3 01. 01. 2013 21:15

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#4 01. 01. 2013 22:22 — Editoval Emca21 (01. 01. 2013 22:39)

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#5 01. 01. 2013 23:42

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#6 02. 01. 2013 00:18

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#7 02. 01. 2013 00:26

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#8 02. 01. 2013 00:35

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#9 02. 01. 2013 00:38 — Editoval Emca21 (02. 01. 2013 00:45)

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#10 02. 01. 2013 02:37 — Editoval KennyMcCormick (02. 01. 2013 07:34)

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#11 02. 01. 2013 22:26

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#12 02. 01. 2013 23:02

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

zblamak napsal(a):

zblamak napsal(a):

#13 30. 11. 2014 22:53

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#14 01. 12. 2014 09:18

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#15 05. 01. 2015 12:43

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#16 05. 01. 2015 13:29

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

#17 05. 01. 2015 13:53

Re: Výtok kapaliny z barelu s dírou na dně

Zápatí