Matematické Fórum

MatthewM

Dobrý den, mám problém s výpočtem tohoto příkladu, měl bych asi nejprve pracovat s absolutní hodnotou, ale i tak to nevede ke kloudnému závěru. Děkuji za každou radu.

$|x^{2}+4x|-6\le 3x$

Výsledek: $\langle-1,2\rangle\,$

teolog · 01. 12. 2014 20:19

↑ MatthewM:
Zdravím,
je potřeba pro vnitřek absolutní hodnoty stanovit nulové body a z nich poskládat příslušné intervaly. Na každém z intervalu se podle znaménka vnitřku absolutní hodnoty odstraní absolutní hodnota a dále se řeší jako obyčejná kvadratická nerovnice.

MatthewM · 01. 12. 2014 20:25

↑ teolog:

Zdravím,
děkuji za radu, také jsem to tak zkoušel, ale nevedlo to k výsledku. Kořeny vnitřku absolutní hodnoty mi vyšly 0 a -4. Je to tak správně?

misaH · 01. 12. 2014 20:26

↑ MatthewM:

Veď to dosaď.

teolog · 01. 12. 2014 20:32

↑ MatthewM:
Ano, nulové body jsou dobře.
Takže intervaly snad nejsou problém. Jak bude ta nerovnice vypadat na jednotlivých intervalech?

MatthewM

↑ misaH:

Pracuji na tom.

↑ teolog:

Pokud jsou tedy nulové body správně, mám tedy 3 intervaly: $(-\infty ,-4)(-4,0)(0,\infty )$ . A když z jednotlivých intervalů dosadím do výrazu $(x^{2}+4x)$ , vyjde mi ve všech intervalech, že je výraz kladný.

teolog · 01. 12. 2014 20:38

↑ MatthewM:
I ten prostřední?

MatthewM · 01. 12. 2014 20:39

↑ teolog:

A jo, máš pravdu, v sešitě mám místo -4, 4, tím to asi bude. Dík za upozornění.

MatthewM

↑ MatthewM:

U první části mi vyšel průnik intervalů $(-\infty ,3)$ , u druhé $(-1,0)$ a u třetí, že nemá řešení. Znovu mi tam něco nesedí.

teolog · 01. 12. 2014 21:03

↑ MatthewM:
Na prvním intervalu to nemá řešení, na druhém $\langle-1,0\rangle$ a na třetím $(0,2\rangle$ , takže celkově je řešením $\langle-1,2\rangle$

MatthewM · 01. 12. 2014 21:32

↑ teolog:

Děkuji, jen mám poslední otázku, proč to na prvním intervalu nemá řešení, když nalézáme průnik od mínus nekonečna do tří a u třetího nemáme shodu u všech?

teolog · 01. 12. 2014 21:43

↑ MatthewM:
Mně to na prvním intervalu vychází uzavřený interval -3 až 2, ale řešíme to na intervalu -nekonečno až -4. Takže prázdná množina.

MatthewM · 01. 12. 2014 22:06

↑ teolog:

No, mně právě vychází intervaly dva, od mínus nekonečna do 2 a od mínus nekonečna do -3.

teolog · 01. 12. 2014 22:17 — Editoval teolog (01. 12. 2014 22:19)

↑ MatthewM:
Na tom prvním intervalu to vypadá takto:
$x^2+4x-6\le 3x$
$x^2+x-6\le0$
$(x-2)(x+3)\le0$
$x\in\langle-3,2\rangle$

$\langle-3,2\rangle\cap (-\infty,-4\rangle=\emptyset$

MatthewM · 01. 12. 2014 22:31

↑ teolog:

A to je právě ten problém, nechápu, jak si došel ke 4. řádku. Já jsem si z 3. řádku udělal 2 intervaly, nevím, jak ti vyšel pouze jeden.

vlado_bb · 01. 12. 2014 22:41

↑ MatthewM: $(-8-2)(-8+3)=50 \not \le 0$

teolog · 01. 12. 2014 22:43 — Editoval teolog (01. 12. 2014 22:45)

↑ MatthewM:
Tohle se nejlíp řeší graficky, grafem je parabola, osu x protíná v bodech -3 a 2 a ptáme, pro která x je část paraboly pod osou x?
Anebo tedy klasicky pomocí intervalů: součin má být záporný, tedy:
a)
$x-2\le$ $\wedge$ $x+3\ge 0$
$x\le2$ $\wedge$ $x\ge-3$
$x\in\langle-3,2\rangle$

b)
$x-2\ge$ $\wedge$ $x+3\le 0$
$x\ge2$ $\wedge$ $x\le-3$
$x\in\emptyset$