Matematické Fórum

stenly · 02. 12. 2014 13:31

Dobrý den,může mi někdo poradit s příkladem na rozvoj funkce komplexní proměnné v Taylorovu řadu?Děkuji předem za pomoc.Příklad:
Najděte Taylorovu řadu funkce f o středu z0 a určete její poloměr konvergence, je-li
f(z) :=( z+1)/(z2+4z−5) v bodě z0 = −1

Brano · 02. 12. 2014 14:17 — Editoval Brano (02. 12. 2014 15:08)

najprv je dobre zobrat $w=z+1$ a rozvijat okolo $w_0=0$

cize mame $f=\frac{z+1}{z^2+4z-5}=\frac{z+1}{(z+5)(z-1)}=\frac{w}{(w+4)(w-2)}=$
$...=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{1+(w/4)}-\frac{1}{1-(w/2)}\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{6}\left(\frac{1}{(-4)^n}-\frac{1}{2^n}\right)(z+1)^n$

a na polomer konvergencie mozes pouzit bud Cauchy-Hadamarda alebo metodu pozriem vidim a dostanes $R=2$ .

Rumburak

↑ stenly:

Zdravím.

Zlomek rozložíme na součet $\frac{a}{z-1} + \frac{b}{z+5}$ parciálních zlomků a každý z nich
rozvedeme zvlášť s využitím věty o součtu konvergentní geometrické řady, např.

$\frac{b}{z+5} = \frac{b}{(z + 1)+4} = \frac{b}{(z - z_0)+4} = \frac{b}{4}\cdot \frac{1}{\frac{z - z_0}{4}+1} = \frac{b}{4}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}$-\frac{z - z_0}{4}$^n = ...$ .

Podobně se zbývajícím zlomkem. Mezivýsledky sečteme a součet upravíme do tvaru jedné mocninné řady.
S určením jejího poloměru konvergence jistě nebude problém.

EDIT. Kolega Brano to stihl napsat rychleji, ale to svoje tu nechám jako možnou technickou alternativu.

stenly · 02. 12. 2014 14:47

↑ Brano:Děkuji,ale nerozumím,jakým obratem se tam dostala ta 1/6........?
Předem díky za podrobné info

vanok · 02. 12. 2014 15:00 — Editoval vanok (02. 12. 2014 15:05)

Ahoj ↑ stenly:,
Prve myslienky:
Najprv
f(z)=(z+1)/((z-1)(z+5))
Akoze chces mat rozvoj okolo bodu z0=-1 poloz Z= z+1
To da Z/((Z-2)(Z+4))
Napis posledny vyraz vo forme a/(Z-2)+b/(Z+4)
A rozvoje 1/(Z-2), 1/(Z+2) su klasicke...
( Pripadne daj to do suvisu aj z Laurent-ovym rozvojom..)
Édit : Brano a Rumburak su rychli ako blesk...

Brano · 02. 12. 2014 15:05 — Editoval Brano (02. 12. 2014 15:08)

↑ stenly:
rozklad na parcialne zlomky
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pa … 8x-2%29%29
potom vyjmes z menovatela konstantu tak, aby ti nam ako konstantny clen ostala vzdy iba jednotka a nahodou to vyslo tak, ze pti oboch zlomkoch potom bola ta sestina

ps: mal som tam chybu v znamienkach - uz som ju opravil

stenly · 02. 12. 2014 15:12

↑ Rumburak:Děkuji,už mi to dává smysl.

vanok · 02. 12. 2014 15:37 — Editoval vanok (02. 12. 2014 15:40)

Elementarna oznamka tykajuca sa radu, co moze byt uzitocna.
Akoze vieme ze
$\sum_{n=0}^{+\infty}q^n= \frac 1{1-q}$ pre $|q|<1$
Tak vdaka tomu mame Taylor-ovu radu
$\frac 1 {w-z}$ okolo bodu $z_0$ .
Staci poznamenat, ze posledny vyraz sa pise
$\frac 1{1 -(\frac {z-z_0}{w-z_0} )} \cdot \frac 1{w-z_0}$
ktory ma zmysel ( co sa da tyka radu) pre $|\frac {z-z_0}{w-z_0} |<1$